第章曲线积分和曲面积分

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1、第十八章曲线积分和曲面积分§1第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。给定光滑曲线段，定义在上且连续，给定的一个分割：T：这里“”表示曲线上从A到B的顺序。记（弧长），（分割细度）。定义1、设存在实数I，使对任意的，存在，使对任意分割，当时，对任意的，都成立：，称I为在上的第一类曲线积分，记为。其中称为被积函数，l称为积分路径。注、显然，定义表明。注、有时用l表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为。不论如何记第一类曲线积分，必须注意到

2、第一类曲线积分是对弧长的积分。639注、其几何意义为：时，，（的弧长）。注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。先给出参数方程下的计算公式。设给定曲线段：是的，即。首先由定积分理论中弧长公式可知，对应于某一参数段如的弧长可由如下定积分计算事实上，利用定积分思想，弧长公式的推导过程大致如下利用这一弧长公式可以得到第一类曲线积分的计算公式。定理1、设在上连续，则存在且。证明：对做任意分割T：对应于形成一个分割639记，则由定义，==其中，使得。利用弧长公式和中值定理，则，。故，=

3、=其中：。由三角不等式，由于，因而一致连续，故，对当时，639，又，，因而有界M，故：。因而，由定积分定义，=故，。对一般的曲线方程，都可以转化为参数方程形式，因此，定理1解决了第一类曲线积分的计算问题。下面给出几个特例。注：特例：1、对平面曲线：，则；2、对平面曲线：，则从计算公式知，第一类曲线积分的计算，关键是给出曲线的参数方程。例1：，：解：采用极坐标形式，则，639故，。例2：其中l由折线段OA、AB、BO组成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用积分可加性，则其中各段方程如下：，；（可视为以为参数），（以为参数）BO：，（以为参数）故,。注

4、意各种技巧的运用，如对等性对称性等。例3：，。解：由于曲线关于对等，则，。因而，。例4：，（闭曲线上的积分）解、由于关于轴对称，且是的奇函数，故，。639事实上，分为：，故：＝0。639§2第一类曲面积分一、定义背景：在计算曲面上质量分布时，我们曾导出质量分布的计算公式为有限和的极，在其它应用领域，也经常遇到这类有限和的极限，因此，有必要在数学上建立相应的理论，这就是第一类曲面积分。给定有界光滑曲面，定义在上，给定曲面的一个分割T：，对应的每一个分割子块的面积记为，分割细度仍记为。定义1、若存在实数I，使对任意分割T及任意选取的点，都有称I为在上的第一类曲面积分，

5、记为其中为被积函数，称为积分曲面。注、类似的积分性质（略）；注、几何意义为，时，。二、计算从第一类曲线积分的公式推导可知，第一类曲面积分公式的建立，关健仍然是微小曲面的面积的计算639。因此，我们首先处理，给出其计算公式；处理的思想为定积分中的近似方法――微元法。我们知道，是分割后的小曲面块，当分割很细时，曲面块可近似为平面块，故，我们从分析平面块面积的计算入手。那么，如何计算平面块的面积？我们仅知道：当平面块落在坐标平面内时，可以利用二重积分计算其面积，此时，问题解决。而当平面块不落在坐标平面时，我们利用投影技术转化为坐标平面内平面块面积的计算。这就是我们处理第

6、一类曲面积分的思想。1、曲面面积的计算：给定有界曲面：，设是光滑的，即，求的面积。情形1、特殊情形设落在平面中，又设与坐标面面的夹角为（锐角），在面的投影区域为D，相应的面积分别记为，则，故。当选取相对应的钝角为夹角时，有。情形2、一般情形为一般光滑曲面：，显然：D正是在面的投影区域。为了利用情形1处理，我们利用分割、近似计算的思想。对曲面进行分割T：，分割细度为；对应于分割T，形成D的一个分割：：，分割细度记为639。当T很细时，我们希望用某种平面块代替曲面块。在曲面上，选择一个什么样的平面块来近似代替曲面块？我们选择相关的切平面块。任取，由于是光滑的，故任一点

7、都有切平面，过作平面，在上取出一小平面块，使与具有相同的投影，当T很细时，。下面计算。由情形1，只计算与坐标面的夹角的余弦。这使我们联想到切平面法线的方向余弦，记为的法线方向与轴正向的夹角，则。由解析几何理论知道，若平面方程为，则在（）点的法线方向为，其中，。故,又，，因而，故，。因而，639这就是曲面面积计算公式。注、当落在面的平面区域时，此时：，故，，这与二重积分的几何意义是一致的。注、从上述推导过程可知，还成立下述另一个计算公式：。其中为曲面上任意点的切平面的法线方向。注：若由参数方程给出，为计算此时的面积，将其转化为已知的情形，为此，设由能确定隐函数，则。

8、利用隐函数