第10章曲线积分和曲面积分

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1、WORD格式可编辑第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时

2、第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用2学时习题课2学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时习题课2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例

3、子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。1、引例：求曲线形构件的质量最后举例巩固计算方法的掌握。2、为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，是弧微分、弧长元素。若是封闭曲线，则第一类曲线积分记为3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线的长s=2）、若空间曲线形物体的线密度为，，则其质量M;专业知识整理分享WORD格式可编辑质心坐标为，其中;对x轴的转动惯量4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线参数方程为：，，则，=。例1　计算，其中：，，

4、，解　因为==，,所以例2，其中为球面与平面的交线；解的参数方程为，，，根据对称性得到=例3　计算，其中解　:,,　或解：被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，所以，==二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。三、教学设计与安排（包含于上面）四、作业同步训练习题一．第一型曲线积分的概念和性质1．金属曲线的质量设有金属曲线L（如图9－1），L上各点的密

5、度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。把L分成n个小弧段：Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）专业知识整理分享WORD格式可编辑也表示这些小弧段的长度。在Δs上任取一点（ξ，η），由于线密度函数是连续的，因此当Δs很小时，Δs的质量∆m便可近似地表示为：∆m≈ρ（ξ，η）Δs，于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ(ξ，η)Δs.记λ＝{Δs},令λ0取上式和式的极限，得M＝ρ(ξ，η)Δs.2．第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义定义：设L为xoy平面内的曲线弧，是L上的有界函数,把L分成n

6、个小弧段:Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长.记λ＝{Δs},在每个小弧段Δs上任取一点（ξ，η）,作和式Δs,如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作,即=Δs称为被积函数,L为积分曲线弧.注1:同前面一样,并非任一个函数在L上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若在L上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定在L上连续.注2:显然物体M的质量为:M

7、=注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分:=注4:若L为闭曲线,则在L上的对弧长的曲线积分记为性质1.若(i=1,2…n)存在,C(i=1,2,…n)为常数,则=性质2:如按段光滑曲线L由曲线L,L,…,L首尾相接而成,且(i=1,2,…n)都存在,则=专业知识整理分享WORD格式可编辑性质3:若,都存在,且在L上,则性质4:若存在,则也存在,且有性质5:若存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得=CS二.第一型曲线积分的计算法我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理:设曲线L的方程为:,,,

8、其中,在上具有连续的一阶导数,为L上的连续函数,则有=证:详细的证明书上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用来表示L上的以为取值区间所对应部分的弧长,则有=.两边求微分,得进而:又当在L上变化时,相应地在上取值,故=.(注:并非严格的证明)注1:若L的方程为,则=若L的方程为,,则=2:若空间曲线的方程为:,