巧作辅助圆 妙解几何题

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1、巧作辅助圆妙解几何题【摘要】数学教学是中小学教学的重点，也是很多学科的基础，讲求的是逻辑推理，原理定理的运用，其中在中学教学中圆的运用很重要，文章就中学数学教学过程中辅助圆在解答几何题中的运用，主要以例题为主进行分析。【关键词】辅助圆；几何；数学教学；圆有一类几何问题，表面上纯属直线型问题的题型，而利用直线型的有关知识解答很繁杂，甚至有的很难找到解决问题的思路和途径，如果对题设进行认真分析，仔细观察图形，可挖掘题设中所蕴含的内在条件潜力，其中有与圆的知识相关联的背景条件，巧添辅助圆，沟通与圆的内在联系，为解题提供了新的途径，把圆的有关性质在解题中适用，可化繁为简，化难为易。

2、下面举例予以说明。例一：如图一，等腰△abc中，ac=bc，∠c=70°，点p在△abc的外部，且与c点均在ab的同侧，如果bc=pc，那么∠apb=_____分析：显然，条件中有bc=pc=ac，由圆的定义可知，b、a、p三点在以c为圆心，bc为半径的圆上。解：以c为圆心，bc为半径作图∵bc=pc=ac∴b、p、a三点在圆上∴∠apb=∠acb=×70°=35°例二：如图二，在abc中，ab=ac=7cm，点p是bc边上的一点，ap=5cm，求bp·cp的值。分析：若以a为圆心，ab为半径作圆，则可构成相交弦的结构特征，可直接求bp·cp的值。解：以a为圆心，ab为半径

3、作圆，双向延长ap分别交圆于m、n，可知，an=am=ab=7cm，由相交弦定理得：bp·cp=pm·pn=（am-ap）（ap+an）=（ab-ap）（ab+ap）=ab2-ap2=72-52=24例三：如图三，四边形abcd，ab//cd，ab=ac=ad=a，bc=b，求bd的长。分析：注意题设ab=ac=ad=a，易知：b、c、d在以a为圆心，a为半径的圆上，因此，添辅助圆，一下打开了思路，使隐蔽在题中的关系跃然纸上。解：以a为圆心，ab为半径作圆，延长ba交圆于e，连de，易知∠bde=90°∴cd//ab∴ed=bc=b在rt△bde中，bd==例四：如图四，在

4、△abc中，若∠cab=2∠abc，求证：a2-b2=bc分析：此题虽没有明显构成圆的条件，但由角的倍数关系和半径相等的条件，可将条件进行转化，构成切割线定理的结构特征。解：以c为圆心，ca为半径作圆c，交ab于d，分别交bc及其延长线于e、f，连结cd。∵cd=ca，a=2∠b∴∠1=∠a=2∠b∴∠b=∠2∴bd=cd=b由切割线定理可得：be·bf=bd·ba，即（a-b）（a+b）=bc∴a2-b2=bc以上例题，都是直线型的题型，但其中隐含有圆的知识痕迹，通过认真分析，仔细观察，深入挖掘题中的潜在条件因素，巧添辅助圆，利用圆的有关性质，可以转化解题思路，达到事半功

5、倍的效果。对于思维的灵活性和创新能力的培养也有重要的作用。