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《1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答一、选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…，则数列{bn}( )(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列解析：(C). 由题设，an=a1qn-1，则 因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．2．平面直角坐标系中，纵、
2、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(
3、x
4、-1)2+(
5、y
6、-1)2＜2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)25解析：(A) 由(
7、x
8、-1)2+(
9、y
10、-1)2<2,可得(
11、x
12、-1,
13、y
14、-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．3．若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y，则( )(A)x-y≥0
15、(B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0解析：(B) 记f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)． 故x≥-y，即x+y≥0．4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，( )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B
16、)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确解析：(D)． 如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1
17、 (C)2 (D)3解析：(B) 设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得，即=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．6．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定解析：(C) 设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t
18、)y+2st=0． 由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=-4． 因此，. 所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．二、填空题（满分54分，每小题9分）7．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.解析：6． 首项为a为的连续k个正整数之和为 ． 由Sk≤2000，可得60≤k≤62． 当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤20
19、00，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950； 当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952； 当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953． 于是，题中的n有6个．8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________.解析：． z的辐角主值 argz=arg［(12+5i)2(239-i)］ =arg［(119+120i)(239-i)］=arg［285
20、61+28561i］=．8．在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.解析：． 10．已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____.解析：． 记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4,b=3,c=5,,右准线l为. 如果P在双曲线右支，则
21、PF1
22、=
23、PF2
24、+2a=ed
