快乐学堂小升初数学专题三容斥原理

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1、快乐学堂小升初数学专题三容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。(A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少

2、有一门得满分的同学有多少人？分析　　依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。答案15+12-4=23试一试　　电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？100-(62+34-11)=15课堂训练1.在1,2，3，…,100这100个自然数中，能被5或9整除的数有()。2.在1,2，3，…，100这100

3、个自然数中，能被2和3整除，但不能被5整除的数有()个。3.500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有()个。容斥原理2　　如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）例2　　某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都

4、参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？　　分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。　　答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3例3　　在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有

5、多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？　　分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。例4　　分母是1001的最简分数一共有多少个？　　分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于

6、1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。　　解答：1~1001中,有7的倍数1001/7=143(个)；有11的倍数1001/11=91(个),有13的倍数1001/13=77(个)；有7´11=77的倍数1001/77=13(个),有7´13=91的倍数1001/91=11(个),有11´13=143的倍数1001/43=7(个).有1001的倍数1个.由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的

7、数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.课堂训练4、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有()人。5.以60为分母的最简真分数共有()个。6.某学校数学竞赛的加试题有2道。结果全校参赛的210人中，第一题得满分的有40人，第二题没得满分的有150人，两道都得满分的有10人。则两题都没得满分的人数有()人。7

8、.某兴趣小