高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.3 4空间向量基本定理空间向量的坐标表示word版含解析

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1、3.1.3　空间向量基本定理3.1.4　空间向量的坐标表示1．了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)3．基向量的选取及应用．(易错点)[基础·初探]教材整理1　空间向量基本定理阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题．1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间

2、不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．4．空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋＋z.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x

3、，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有________个．【解析】　如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．【答案】　3教材整理2　空间向量的坐标运算阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题．1．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐

4、标就是向量a的坐标．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量的加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量的减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.【解析】　b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．【答案】　(2,1，－1)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探

5、讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]基底的判断　(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.【精彩点拨】　(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解．【解析

6、】　(1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．(2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面．由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y，即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．故解得x＝，y＝－，k＝5.【答案】　(1)③　(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．用基底表示空

7、间向量　如图3113所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.图3113【精彩点拨】　→→→→→【自主解答】　＝－，∵＝，∴＝×(＋)＝(b＋c)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝a＋(b＋c)，∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，即＝－a.用基底表示向量的技巧1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形