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1、第6课时 双曲线的标准方程 教学过程一、问题情境问题1 前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题?解 椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法,并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.问题2 下面我们来学习双曲线,应该先研究什么问题呢?解 先研究双曲线的标准方程,如何求双曲线的标准方程呢?如何建立直角坐标系?二、数学建构1.标准方程的推导设双曲线的焦距为2c,双曲线上任意一点到焦点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0).类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.以直线F1F2为x轴,线段F1F2
2、的中垂线为y轴建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设P(x,y)为双曲线上任意一点,由双曲线定义知
3、PF1-PF2
4、=2a,即
5、-
6、=2a.[1]在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a<2c,可知c2-a2是正数,与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比,可以令b2=c2-a2,使化简后的标准方程简洁美观,最后得到焦点在x轴上的双曲线标准方程是-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).若焦点在y轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c)
7、,由双曲线定义得
8、-
9、=2a,与焦点在x轴上的双曲线方程
10、-
11、=2a比较,它们的结构有什么异同点?解 结构相同,只是字母x,y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).(2)a,b,c有关系式c2=a2+b
12、2成立,且a>0,b>0,c>0,其中a与b的大小关系可以为a=b,ab.3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.三、数学运用【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)经过点A(0,2),B(2,-5);(2)a=2,且经过点P(2,-5).
13、[2](见学生用书P25)[处理建议] 类比椭圆标准方程的求法,用待定系数法可分别设出焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为mx2+ny2=1(mn<0).[3][规范板书] (1)解法一 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),则由条件可知解得故所求双曲线的方程为-=1.解法二 由题意可知a=2,且双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1.又双曲线过点(2,-5),代入解得b2=16,所以方程为-=1.(2)①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经
14、过点(2,-5),所以-=1,此方程无解,故焦点不可能在x轴上.②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经过点(2,-5),所以-=1,所以b2=16,所以双曲线的方程为-=1.综上,双曲线的方程为-=1.[题后反思] 待定系数法是求双曲线标准方程的基本方法,需熟练掌握.采用待定系数法前需明确焦点的位置,若焦点位置不明,则往往需要分类讨论.变式 求c=5,且经过点(3,4)的双曲线的标准方程.[规范板书] 解 当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=45(舍去)或a2=5,所以b
15、2=20;当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=40(舍去)或a2=10,所以b2=15.综上,双曲线的方程为-=1或-=1.[题后反思] 还有其他的方法吗?类比椭圆中类似问题——双曲线的定义.当焦点在x轴上时,焦点坐标为(±5,0),所以2a=
16、2-4
17、=2,a2=5,b2=c2-a2=20,双曲线的方程为-=1;当焦点在y轴上时,焦点坐标为(0,±5),所以2a=2,a2=10,b2=15,双曲线的方程为-=1.【例2】 求下列动圆的圆心M的轨迹方程:(1)与☉C:(x+2)2+y2=2内
18、切,且过点A(2,0);(2)与☉C1:x2+(y-1)2=1和☉C2:x2+(y+1)2=4都外切;(3)与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切.[4](见学生用书P26)[处理建议] 根据两圆内切、外切的条件,找出相关线段之间的关系,再由圆锥曲线的定义确定点M的轨迹及轨迹方程.[规范板书] 解 设动圆M的半径为r.(1)因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,所以
