浅谈分类讨论思想在数学中的应用

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1、北辰区教育学会第三届“北极星杯”论文年会浅谈分类讨论思想在高中数学中的应用姓名：周巍单位：天津市北辰区南仓中学9浅谈分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：对问题中的各种情况进行分类或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类讨论的原则是不重复，不遗漏。关键词：分类讨论思想分类对象原则结论新的义务教育数学课程标准明确指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”在高中数学的教学工作中，

2、分类讨论思想方法是一种重要的解题方法，而大部分学生对分类讨论思想方法掌握不好，他们往往在需要用分类讨论的思想方法来解的数学题面前呆住了。数学思想贯穿于整个数学教学中,在教学活动中“分类讨论数学思想”就是当我们研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。分类讨论解题的实质是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件。分类讨论的原则是不重复，不遗漏[2]。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨

3、论的结果，使解题步骤完整。它体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法。一、分类讨论的起因，确定分类对象及原则进行分类讨论，首要解决的是：对谁分类，即分类对象是什么？其标准是什么？这些都取决于为什么要进行分类，即对分类的起因是怎么认识的.分类的好坏就9决定着解法的优劣，甚至直接影响解题的成败.不同的分类下解题过程的简繁也是不一样的，它取决于分类的标准.分类还要注意不能有重复，也不能遗漏，且同一次分类，标准应当一致.引起分类讨论的因素很多，常规方法如下：1、根据所涉及到的数学概念进行分类讨论例1.分析：

4、解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当48时，方程表示双曲线。2、根据运算的要求分类讨论例2.9分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。解：3

5、、条件或结论不唯一时分类讨论例3.分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。解：9综上所述，得原不等式的解集为；；；；。3、根据某些定理或公式的限制条件进行分类讨论例4.分析：解对数不等式时，需

6、要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。解：95、根据图形的位置变化分类讨论例5.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。　　解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。　　1，当△ABC的高在形内时，由，得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。　　2，当高AD在形外时，此时△AB

7、C为钝角三角形。　　由，得△ABD∽△CAD　　所以∠B＝∠CAD＝25°　　∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°二、分类讨论的前提、多层讨论分类的目的是为了逐一讨论，解答每个子问题，而讨论时应该紧扣分类这个前提，随着讨论的深入,新的问题会应运而生。此时，相当于给问题增设了题设条件，在此条件下再进行解题，因而，使问题易于解答，又如需要再次分类时,会形成多层次嵌套模式.此时需要逐层讨论不能越级讨论.,例：函数,,其中a，b是常数，.若函数的最大值是最小值的2倍，求b关于a的函数表达式.[1

8、]下面，运用分类讨论解答.解：9.令，∵，∴，则，设0≤≤≤1，则(*)(Ⅰ)当≤0时，在上，由(*)式知，y是增函数，且，.∵，∴(≤0)(Ⅱ)当0<≤1时，在上，由(*)式知，y是减函数，且，.在上，由(*)式知，y是增函数，且，.于是，在上，当0<≤时，，.∵，∴(0<≤).当<≤1时，，，∵，∴(<≤1).(Ⅲ)当>1时，在上，由(*)式知，y是减函数，且9，.∵，∴(>1).综(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)，关于的函数为以上