高考数学专题二十一椭圆与双曲线

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1、专题二十一　　椭圆与双曲线　　一、知识网络二、高考考点　　1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；　　2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；　　3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；　　4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；　　5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；　　6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。　　三、知识要点　　(一)椭圆　　Ⅰ定义与推论　　1、定义1的的认知　　设M为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有　　（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）　　（2）隐

2、蔽的不等关系： ， 　　 　　（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）　　2、定义2的推论　　根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有：　　 （d1为点M到左准线l1的距离）　　 （d2为点M到右准线l2的距离）　　由此导出椭圆的焦点半径公式： 　　 　　　　Ⅱ标准方程与几何性质　　1、椭圆的标准方程　　中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 　　①　　中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 　　②　　（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： 　　（2）标准方程①、②统一形式： 　　2、椭圆 的几何性质　　（1）范围： （有界曲线

3、）　　（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）　　（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义） 　　（4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度　　（5）准线：左焦点 对应的左准线 　　右焦点 对应的右准线 　　椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为  ；　　中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 .　　Ⅲ挖掘与引申　　1、具特殊联系的椭圆的方程　　（1）共焦距的椭圆的方程 　　且 　　（2）同离心率的椭圆的方程 　　且 　　2、弦长公式：　　设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 ，　　则 ；　　或 。　　（二）双曲线　　Ⅰ、定义

4、与推论　　1．定义1的认知　设M为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端点，则有：　　（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）　　（2）隐蔽的不等关系： ，  　　（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）　　2．定义2的推论　　设 为双曲线 上任意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中， 为焦点 到相应准线li的距离 　　推论：焦点半径公式　　当点M在双曲线右支上时， ；　　当点M在双曲线左支上时， 。　　Ⅱ、标准方程与几何性质　　3．双曲线的标准方程　　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 　　①　　中心在原点，焦点在y轴上的双曲线

5、标准方程为 　　②　　（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： 　　（2）标准方程①、②的统一形式： 　　或： 　　（3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 　　4．双曲线 的几何性质　　（1）范围： 　　（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）　　（3）顶点与轴长：顶点 　　（由此赋予a,b名称与几何意义）　　（4）离心率： 　　（5）准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 　　（6）渐近线：双曲线 的渐近线方程：　　   　　Ⅲ、挖掘与延伸　　1．具有

6、特殊联系的双曲线的方程　　对于双曲线 （※）　　（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=λ+μ;　　（2）当 为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；　　（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为：　　   　　特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）　　2．弦长公式　　设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 　　则 　　经典例题　　1、（1）若椭圆 的一个焦点是（-2，0），则a等于　　　　　　　　　　　　 。　　（2）已知椭圆 的焦点为F1、F2，点P是其上的动点，当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围为

7、　　　　　　　　　　　　　　 。　　分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。　　由题设知已知得：  　　这里 　　由此解得 　　（2）这里a=3,b=2,c= 　　∴以线段F1F2为直径的圆的方程为 　　设 ，则由点P在椭圆上得： 　　　　①　　又由 为钝角得： 　　　　∴  　　　　　　②　　∴由①、②联立，解得：  　　∴所求点P横坐标的取值范围为 　　点评：注意到点P对 的大小的影响可用点P与圆 相对位置关系来反映，故