2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

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1、学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社2011年全国高中数学联赛江西省预赛2011年全国高中数学联赛江西省预赛于2011年9月25日在江西省的11个设区市同时进行，全省有一万两千余名学生参加了这次选拔赛，江西省预赛试题结构及命题模式近年来基本保持稳定；全省各地按预赛人数10：1的比例，选出约一千两百余人集中到南昌市参加10月16日的全国高中数学联赛.学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社试题一、填空题（每小题10分，共分）、是这样的一个四位数，它的各位数字之和为；像这样各位数字之和为的四位数总共有个．、设数列满足:,且对于其中任三个连续项,都有:.则通项．

2、、以抛物线上的一点为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形与，则线段与的交点的坐标为．、设，则函数的最大值是．、．、正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作与侧棱都相交的截面，那么，周长的最小值是．、满足的一组正整数．、用表示正整数的各位数字之和，则．二、解答题（共题，合计分）、（20分）、设，且满足：，求的值．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社、（分）如图，的内心为，分别是的中点，，内切圆分别与边相切于；证明：三线共点．、（分）在电脑屏幕上给出一个正边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的个顶点（其中是小于的一个固定的正

3、整数），一按鼠标键，将会使这个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；、证明：如果为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；、当为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时

4、兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐：“奥数”联赛冲刺篇“奥数”IMO终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你”。学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社解答、．提示：这种四位数的个数，就是不定方程满足条件，的整解的个数；即的非负整解个数，其中，易知这种解有个，即总共有个这样的四位数．（注：也可直接列举．）、．提示：由条件得，，所以，故，而；；于是；由此得.学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社、．提示：设，则，直线方程为，即，因为，则，即，代人方程得

5、，于是点在直线上；同理，若设，则方程为，即点也在直线上，因此交点的坐标为．、．提示：由所以，，学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社即，当，即时取得等号．、．提示：．、．提示：作三棱锥侧面展开图，易知∥，且由周长最小，得共线，于是等腰，，，即，，，所以，由，则．、．提示：由于是形状的数，所以必为奇数，而为偶数，设，，代人得，即.①而为偶数，则为奇数，设，则学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社，由①得，，②则为奇数，且中恰有一个是的倍数，当，为使为奇数，且，只有，②成为，即，于是；若，为使为奇数，且，只有，②成为，即，它无整解；于是是唯一解：．（另外，也可

6、由为偶数出发，使为的倍数，那么是的倍数，故是形状的偶数，依次取，检验相应的六个数即可．）、．提示：添加自然数，这样并不改变问题性质；先考虑由到这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集，易知对于每个，首位为的“三位数”恰有个：，这样，所有三位数的首位数字和为.再将中的每个数的前两位数字互换，成为，得到的一千个数的集合仍是，又将中的每个数的首末两位数字互换，成为，得到的一千个数的集合也是，由此知．今考虑四位数：在中，首位（千位）上，共有一千个，而在学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社中，首位（千位）上，共有一千个，因此；其次，易算出，.所以，．、由，即，平方得所以

7、，即，所以．、如图，设交于点，连，由于中位线∥，以及平分，则，所以，因，得共圆．所以；又注意是的内心，则.连，在中，由于切线，所以，学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社因此三点共线，即有三线共点．、证明：由于为质数，而，则，据裴蜀定理，存在正整数，使,①于是当为奇数时，则①中的一奇一偶．如果为偶数，为奇数，则将①改写成：，令，上式成为，其中为奇数，为偶数．总之存在奇数和偶数，使①式成立；据①，,②现进行这样的操作：选取一个点，自开始，按顺时针方向操作个顶点，再顺时针方向操作接下来的个顶点……当这样的操作进行次后，据②