全国高中数学联赛预赛试题及答案

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1、2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，，则=（）A、B、C、D、2、正方体中与截面所成的角是（）A、B、C、D、3、已知，，则“”是“在上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（）A、B、C、D、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（）A、B

2、、C、D、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、B、C、D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是．8、的展开式中的常数项是第6页共6页　　　．（用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角满足，则的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中

3、，任取一个五位数，满足条件“”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值．14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值．第6页共6页　　　15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围．16、设函数在上的最大值为（）．（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．第6页共6页　

4、　　2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、8、9、010、1411、12、三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知，（5分）由知，，于是所以时，有最小值；当时，有最大值．（10分）（II）由条件可知对任意的恒成立，∴∴∴,（15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），，解得，所以，．（20分）14、解：（I）因为

5、（5分），等号成立的条件是，当时，可取最小值2．（10分）（II）当取最小值时，，从而，第6页共6页　　　即，令，则（15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值．（20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）由题设知方程①有两负根，因此，解得．（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，，其取值范围是所以的取值范围是．（20分）16、解：（I），当时，由知或者，（5分）当时，，又，，故；当时，，又，，故；第6页共6页　　

6、　当时，，∵时，；时，；∴在处取得最大值，即综上所述，．（10分）（II）当时，欲证，只需证明∵所以，当时，都有成立．（15分）（III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知．所以，对任意正整数，都有成立．（20分）第6页共6页