研究群的子群的乘积的阶

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1、10《近世代数》课程论文研究群的子群的乘积的阶姓名：郭庆学号：P111713313班级：2011级数学与应用数学学院：数学与计算机科学学院1010西北民族大学数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积的阶P111713313郭庆数学与应用数学内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义，在很多领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解

2、决一些复杂的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。我们知道，群的子群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。当然，除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具有十分微妙的关系。首先，我们看群的阶是如何定义的:如果一个有限群G中所包含的元素个数为n，则称n为群G的阶，并记为

3、G

4、=n。无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。其实群的阶就

5、是指群中元素的个数，利用是否属于同一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类，且每一类中元素个数相同。下面我们来看。定义：设H是群G的一个子集，aG。则称群G的子集1010aH={ax

6、xH}为群G关于子群H的一个左陪集。而称Ha={xa

7、xH}为群G关于子群H的一个右陪集。显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。这是一个特殊情况。须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定条件才可将子集改为子群。这在下面还将作进一步讨论。很显然，左陪集满足如下性质。1.aaH证明：H是子群，eH，故a=aeaH2.aHa

8、H=H证明：设aH=H。则由1知，aaH，所以aH。设aH，任取axaH，因为H为子群，所以axH，即aHH。同样，任取xH，又aH，则x=ex==a()aH，即HaH。3.baHaH=bH证明：设aH=bH，由1得bbH，所以baH。设baH，令b=ax（xH）。xH，由2得xH=H，则axH=aH，即bH=aH。4.aH=bH,即a与b同在一个左陪集中bＨ（或ａＨ）。1010证明：设aH=bH，则aH=bH，即H=bH，则由2得bH。同理，可得aH。设bＨ，则由2得H=bＨ，即aH=bＨ，即aH=bH.5.3与4

9、结合则可得，baHaH=bHbＨ（或ａＨ）即传递性。6.若aH∩bH≠，则aH=bH。证明：设caH，且cbH，则由3得cH=bH=aH。这样就得到G关于H的任二左陪集要么相等，要么交集为空。从而G按照左陪集可分解为G=aH∪bH∪cH∪……当然，对于右陪集也有相应性质。这里不作赘述。G的左陪集和右陪集满足怎样关系呢？我们看：H是G的一个子群，令L={aH

10、aG}，R={Ha

11、aG}。则L和R之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数都无限或个数相等。证明：L和R之间建立映射：：aHＨ。如果aH=bH，则由4得bH，即H

12、，从而H=H。同理，由Ha=Hb可得H=H。为双向单射，这样就得为一个双射。即左陪集与右陪集一一对应，个数相等。所以由G=aH∪bH∪cH∪……可立即得到G=H∪H∪H∪……指数1010指数是指一个群G关于它的一个子群H互异的左（或右）陪集个数，称为H在G中的指数，记作（G：H）。下面我们来看一个非常重要的定理，即拉格朗日定理。H是有限群G的一个子群，则｜Ｇ｜＝

13、H

14、（G：H），即（Ｇ：Ｈ）＝．从而任何子群的阶和指数都是群Ｇ的阶的因数。证明：令（Ｇ：Ｈ）＝ｓ，且Ｇ＝　　　（１）是Ｇ关于Ｈ的左陪集分解。由于易知　　　：

15、　（）是左陪集到的一个双射，从而｜｜＝｜｜。于是有｜｜＝｜｜＝…＝｜｜＝｜｜。因此由（１）知，｜Ｇ｜＝｜Ｈ｜·ｓ，即｜Ｇ｜＝｜Ｈ｜（Ｇ：Ｈ）。由此定理可得一个推论，我们把它称为推论１：有限群中每个元素的阶都整除群的阶。这里要补充一下元素的阶的概念：设ａ为群Ｇ的一个元素，使＝ｅ的最小正整数ｎ叫做元素ａ的阶。现在来证推论１。证明：设ａ是有限群Ｇ的一个ｎ阶元素，则H={e，a，…，}1010是G的一个n阶子群，故由拉格朗日定理知，ｎ｜｜Ｇ｜。得证。接着，我们可得到，如果｜Ｇ｜为素数，则由ｎ｜｜Ｇ｜可得，｜Ｇ｜=n，当然，这

16、里n也一定是素数。则可知：素数阶群必为循环群。如果Ｋ≤Ｈ≤Ｇ，G为有限群，由拉格朗日定理可得｜Ｈ｜＝｜Ｋ｜（Ｈ：Ｋ）和｜Ｇ｜＝｜Ｈ｜（Ｇ：Ｈ），所以｜Ｇ｜=｜Ｋ｜（Ｈ：Ｋ）（Ｇ：Ｈ），所以即（Ｈ：Ｋ）（Ｇ：Ｈ）=（Ｇ：K），这样就得到了指数间的关系。这有点类似a=b（a：b）,b=c(b:c)，则a=c（b:c）(a:b).其中a：b为a与b的