研究群的子群的乘积的阶

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1、10《近世代数》课程论文研究群的子群的乘积的阶姓名:郭庆学号:P111713313班级:2011级数学与应用数学学院:数学与计算机科学学院1010西北民族大学数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积的阶P111713313郭庆数学与应用数学内容摘要:通过对群的子群的乘积的探究,明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象,研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。而群论是近世代数的一个重要的分支,因此群论中的许多思想方法有着重要的意义,在很多领域中有着广泛的应用,可以帮助我们解决一些复杂的问题,更好的理解群的概念,以及群的阶的概念。我们知道,群的子群的

2、乘积需满足一定条件时,才可确定它是子群。那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系?这次我们将探讨。当然,除非特殊说明,本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。关键字:群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念,他们通过拉格朗日定理相联系,具有十分微妙的关系。首先,我们看群的阶是如何定义的:如果一个有限群G中所包含的元素个数为n,则称n为群G的阶,并记为

3、G

4、=n。无限群的阶称为无限,被认为是大于任意的正整数。其实群的阶就是指群中元素的个数,利用是否属于同一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类,且每一类中元素个数相同。下面我们来看。定义:设H是群G的一个子集,aG。则称群

5、G的子集1010aH={ax

6、xH}为群G关于子群H的一个左陪集。而称Ha={xa

7、xH}为群G关于子群H的一个右陪集。显然,当G为交换群时,左陪集和右陪集相等。这是一个特殊情况。须注意,这里说的是左陪集,也就是子集而非子群,须满足一定条件才可将子集改为子群。这在下面还将作进一步讨论。很显然,左陪集满足如下性质。1.aaH证明:H是子群,eH,故a=aeaH2.aHaH=H证明:设aH=H。则由1知,aaH,所以aH。设aH,任取axaH,因为H为子群,所以axH,即aHH。同样,任取xH,又aH,则x=ex==a()aH,即HaH。3.baHaH=bH证明:设aH=bH,由1得bbH,所以

8、baH。设baH,令b=ax(xH)。xH,由2得xH=H,则axH=aH,即bH=aH。4.aH=bH,即a与b同在一个左陪集中bH(或aH)。1010证明:设aH=bH,则aH=bH,即H=bH,则由2得bH。同理,可得aH。设bH,则由2得H=bH,即aH=bH,即aH=bH.5.3与4结合则可得,baHaH=bHbH(或aH)即传递性。6.若aH∩bH≠,则aH=bH。证明:设caH,且cbH,则由3得cH=bH=aH。这样就得到G关于H的任二左陪集要么相等,要么交集为空。从而G按照左陪集可分解为G=aH∪bH∪cH∪……当然,对于右陪集也有相应性质。这里不作赘述。G的左陪集和右陪集

9、满足怎样关系呢?我们看:H是G的一个子群,令L={aH

10、aG},R={Ha

11、aG}。则L和R之间存在一个双射,从而左、右陪集的个数都无限或个数相等。证明:L和R之间建立映射::aHH。如果aH=bH,则由4得bH,即H,从而H=H。同理,由Ha=Hb可得H=H。为双向单射,这样就得为一个双射。即左陪集与右陪集一一对应,个数相等。所以由G=aH∪bH∪cH∪……可立即得到G=H∪H∪H∪……指数1010指数是指一个群G关于它的一个子群H互异的左(或右)陪集个数,称为H在G中的指数,记作(G:H)。下面我们来看一个非常重要的定理,即拉格朗日定理。H是有限群G的一个子群,则|G|=

12、H

13、(G:H)

14、,即(G:H)=.从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。证明:令(G:H)=s,且G=   (1)是G关于H的左陪集分解。由于易知   : ()是左陪集到的一个双射,从而||=||。于是有||=||=…=||=||。因此由(1)知,|G|=|H|·s,即|G|=|H|(G:H)。由此定理可得一个推论,我们把它称为推论1:有限群中每个元素的阶都整除群的阶。这里要补充一下元素的阶的概念:设a为群G的一个元素,使=e的最小正整数n叫做元素a的阶。现在来证推论1。证明:设a是有限群G的一个n阶元素,则H={e,a,…,}1010是G的一个n阶子群,故由拉格朗日定理知,n||G|。得证。接着,我们

15、可得到,如果|G|为素数,则由n||G|可得,|G|=n,当然,这里n也一定是素数。则可知:素数阶群必为循环群。如果K≤H≤G,G为有限群,由拉格朗日定理可得|H|=|K|(H:K)和|G|=|H|(G:H),所以|G|=|K|(H:K)(G:H),所以即(H:K)(G:H)=(G:K),这样就得到了指数间的关系。这有点类似a=b(a:b),b=c(b:c),则a=c(b:c)(a:b).其中a:b为a与b的

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