车灯线光源的优化设计 数学建模全国赛优秀论文

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1、车灯线光源的优化设计数学建模全国赛优秀论文全国一等奖(轩辕杨杰整理)车灯线光源的优化设计电子科技大学指导老师：杜鸿飞参赛队员：吕骥余白敏肖世尧2002年9月23日车灯线光源的优化设计摘要本文在满足给定设计规范的条件下，以线光源功率最小为优化目标，运用微元法对车灯线光源长度的设计问题进行了讨论。首先将线光源分为若干段（微元），视每一段为一个点光源。引进两个物理量：照度和发光效率，分别用来度量光强和建立光源功率与辐射光能的联系。搜索每个点光源发出的光线有多少条经反射后能照到给定的B、C两点，进而建立起光源功率与B、C点照度之间的联系。再以设计规范中要求的B、C

2、点的照度与额定值之间的关系为约束条件，以线光源功率最小为目标建立优化模型。代入距光源25米处照度的额定值和线光源的功率线密度等参数，得出相应线光源的最优长度。以高压毛细汞灯（发光效率50流明/瓦、功率线密度30瓦/毫米）为例，算出它的优化长度为4.2毫米，并绘出测试屏上反射光的亮区图。从实际、安全、经济等多角度出发，讨论了该设计规范的合理性。最后考虑到实际的光源辐射有衰减、灯具反射面的污染等因素，建议引进照度补偿系数，使模型的实用性更强。车灯线光源的优化设计一、问题的提出汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知其开口半径为36毫米

3、，深度为21.6毫米。经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向上，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范可简单描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。我们需要解决的是：（1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）得到的线光源长

4、度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。二、问题的分析2.1首先我们来明确几个概念线光源——宽度与其长度相比小得多的发光体。光通量——光源在单位时间内辐射出的光能，用国际规定的眼（对光适应的眼）的灵敏度来估定。发光效率——光源每消耗1瓦特功率可辐射出的光通量，又叫光效。照度——单位面积所接受的光通量，单位为勒克斯。2.2分析问题首先解决本问题的一个难点：由于问题讨论的主要对象是线光源，而线光源处理起来不太容易，因此想到用微元法将线光源划分为若干小段（微元?l），每一段可视为一个点光源。这样就将线光源的问题转化为了点光源

5、的叠加问题。由于该线光源照射到测试屏上，有两种途径：直射和反射。因此我们在考虑某点的光强时，必须同时考虑两种情况。现在我们还需解决的几个关键问题是如何度量光强，光强的额定值为多少，如何建立起功率与光强的关系。通过查资料，我们引入了描述光强的物理量——照度。同时查到距车灯25米处的照度额定值为1勒克斯，即光强额定值为1勒克斯（见参考文献[1]）。另外，还引入发光效率这个量来建立起光源功率与光强的关系（见参考文献[2]）。在上述讨论的基础上，作进一步分析，我们认为可以建立一个以给定设计规范为约束条件，以线光源的功率最小为目标的规划模型。可以通过步长搜索，来求得

6、线光源长度的最优解。1三、模型的假设1、光在反射时及整个传播过程中，能量均无损耗。2、只计此线光源的长度，其体积忽略不计。3、此线光源均匀分布，各点同性。且任意一点向整个空间各个方向均匀辐射能量。4、光强额定值为1勒克斯。5、不考虑光的干涉、衍射等现象。6、光强在某点叠加时，可直接取其代数和。7、只考虑一次反射。四、符号说明lm——流明W——功率m——米lx——勒克斯（1lx=1lm/m2）五、模型的建立与求解5.1准备工作首先建立如图坐标系：图一车灯测试装置三维坐标图2其次，明确下面的定理：定理1从焦点发出的光经反射后均为平行于对称轴的光。定理2点光源发

7、出的光以球面波的形式向空间传播。定理3光源从一点A经反射到达另一点B所走过的光程等于点A的镜像A'到点B的直线距离。此定理可由图二直观表示：即AC?BC?A'B图二再根据几何推导，可得出一个重要的结论：结论在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交。下面我们对此结论进行证明：从图一，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线???x2?2cy???z?0?c?0绕y轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为z2?x2?2cy设?x0,y0,z0?为此抛物面上任意一点，求得过此点的切面方程为2x0?x?x0??2c?y?0y??2?zz??0z?0

8、进而得法线方程为x?x0y0?z0x?y?0?c?zz0联立对称轴