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《数学建模论文--车灯线光源的优化设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、车灯线光源的优化设计[摘要]：本文从几何角度分析了车灯线光源反射光线的线路,并通过证明,分别得出了经反射后可到达B、C点的线光源的长度和反射点纵坐标的关系，进而量化出B、C点的光照度.根据光源的功率与光源强度、线光源的长度之间的关系,建立了线光源长度的数学模型，并利用数值计算方法，得出在满足设计规范，线光源功率最小时的线光源长度=3.33mm.依据反射线的参数方程,利用Maple软件描绘出了反射光在测试屏上近似于椭圆的亮区（见图5）.并结合实际，从安全性、节能性等方面对本题设计规范的合理性作了分析.关键词：旋转抛物面；线光源；光强度；光源的功率1问题的提出安装在汽
2、车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,该抛物面的对称轴水平指向正前方,开口半径36毫米,深度21.6毫米.现在与对称轴垂直的水平方向,对称放置一定长度的均匀分布的线光源.现要设计一车灯,设计规范为:在焦点F正前方25米处的A点放置一与地面垂直的测试屏,即与FA垂直.在屏上过A引出一条与地面平行的直线,在A的同侧取B和C两点,使得AC=2AB=2.6米;并且C点的光强度不小于某一额定值,B点的光强度不小于该额定值的两倍.要解决的问题：(1)在设计规范标准下确定线光源的长度,使线光源的功率最小.(2)对(1)中求的的线光源的长度,画出测试屏上反射光的亮区.(3)讨论上述设
3、计规范的合理性.2问题的分析车灯的形状为一旋转抛物面，我们可以假设其表面的物质都是均匀的。线光源过焦点垂直于对称轴与水平面平行。线光源与A点构成一个水平平面，记xoy，B、C两点在该平面上。根据光线反射原理可以知道，能够射到直线BC上的点光源必存在于xoy。我们对本题的讨论就可集中在xoy面上进行。对于xoy面上反射的光线，应分若干区域进行讨论。抓住“C点光强度不小于某一额定值，B点光强度不小于该额定值的两倍”这一点，建立线光源长度与抛物面上放射点的关系。3模型假设与符号约定3.1旋转抛物面的内表面为白体（即抛物面在折射過程中不吸收光能）；3.2测试屏底边与地面相
4、平；3.3光源的功率理解为用电功率；3.4线光源的位置为xoy平面上的线段.：单位长度发光管在单位平面角内发出的光流常数；：抛物线的焦距；：B点的光照度；：C点的光照度；20：发光能力；：反射光线与水平方向的夹角；：线光源的半长度.4模型的建立与求解4.1模型的准备对于第一个问题，我们考虑一个切面抛物线的方程（以抛物线顶点作为坐标原点），设在平面上的抛物线的方程为：―――――――――（1）由已知得点（21.6,36）满足以上方程，将该点代入方程解得p=30.所以以轴对称的抛物线方程为：x,x[0,21.6],y=[-36,36]：则车灯头绕轴旋转的抛物面的参数方程
5、为：―――――――（2）在抛物线上任取一点,Q点处的法线向量为:记向量,则20可得与反射线平行的向量,及反射线上的动点,,(为参数)由条件知,可设通过的选取可使动点到达点,于是得到光路的关系式为如下的方程组:------------(3)命题:线光源的光线只能经水平抛物线反射到点.由以上可知点光源上任意的一点抛物面上任取的一点，点的坐标分别为:则向量=Q点处，抛物线的切线方程的法向量为：根据反射定律,入射光线与反射光线以及法线应在同一平面上，从而得出：共面，利用向量的混合积有:=0即：如点不在面上,则,可得20,于是当时,点经不能到达,由对称性知如不在面上,则发出
6、的光线不可能到.4.2设计规划下的线光源长度计算下面建立线光源上一点（15，t）经点，反射到B点的t,y的关系式.由命题一，光路M-Q-B的求解可在xoy平面上进行，如下图:F(15,0)M(15,t)Q(,记，在,由余弦定理可得：从而得到y,t的关系式为：――――（4）20由（4）解得：――（5）利用（5）式及数值计算方法分析出，有下列4种情形可实现光路M-Q-B:如下图所示：Bty图（1）B图(2)yt（1）（2），B图（3）tyB图(4)（3），（4），在M点处取微元，由系数的意义，向全平面（平面角为），发射的光量为，设B处对应的微元为，由于的法线于QB成的
7、夹角为，且考虑到，记利用光学知识，可知对B处的照度所作的贡献为：(6)对前面的四种反射区域，利用(6)式可得到有关的积分表达式，例如对于情况（2）（图2），，如h取定且，则此情形对B点照度产生的贡献为―――――――――（7）20由于被积函数含有t和y，利用（5）式作代换，则有―――――――（8）其中由在的范围中解出，对情形1），3），4）可类似得出的表达式，于是光源在B处的照度为―――――――（9）现在把问题1中“线光源的功率”理解为光源消耗的电功率w，显然，由于反映线光源发射光的能力，而电能只有一部分用于发光，因此与一般不成线性关系，根据物理学上关于物体外表面辐
8、射能力的公
