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《2013高数1-2期末考试试卷+答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、填空题1.已知由方程确定,则.解:类题:①已知由方程确定,则.②设函数,则.2.函数在点处沿梯度方向的方向导数为.解:∵,∴在点处沿梯度方向的方向导数为类题:①函数在点处沿梯度方向的方向导数为.②函数在点处的最大方向导数是.3.曲面在点处的切平面方程为.解:∵曲面的法向量为,其中.∴在点处的切平面方程为类题:①曲线在点处的切线方程为.②曲线在点处的切线方程为.4.交换二次积分的积分次序,得.解:画图知积分区域为,故.类题:①交换二次积分的积分次序,得.②交换二次积分的积分次序,得.5.设是以,
2、,为顶点的三角形边界,则曲线积分.解:画图类题:①设平面曲线为圆周位于第一象限部分,则曲线积分.②设平面曲线为,则曲线积分.6.设为上半球,则曲面积分.解:..类题:①设为平面在第一卦限中的部分,则曲面积分.②设为平面在第一卦限部分,则曲面积分.7.幂级数的收敛域为.解:∵,时,原级数收敛,时,原级数收敛.∴收敛域为.类题:①幂级数的收敛域为.②幂级数的收敛域为.8.二阶齐次线性微分方程的通解为.解:特征方程的根为,故通解为.类题:①二阶齐次线性微分方程的通解为.②二阶齐次线性微分方程的通解为.9
3、.设则其以为周期的傅里叶级数在处收敛于.解:由收敛定理知,在处收敛于.二、选择题1.曲面对应于点与轴正向相交成锐角的法向量可取为()(A);(B);(C);(D).解:因与轴正向相交成锐角,故,,选(D).类题:曲面在点处的切平面方程()(A);(B);(C);(D).2.设是上的连续函数,若:,而:,,,则下列式子成立的是().(A);(B);(C);(D).解:因4个选项的被积函数关于都为偶函数,所以二重积分等于第一象限积分的4倍.选(C).类题:二次积分在极坐标下的二次积分为(A).(A);
4、(B);(C);(D).3.函数在点处偏导数存在是函数在点处可微的(A)(A)必要条件;(B)充分条件;(C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件.类题:函数在点处具有连续偏导数是函数在点处可微的(B)(A)必要条件;(B)充分条件;(C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件.4.下列4个级数中,条件收敛的是().(A);(B);(C);(D).解:,又因,故绝对收敛.为的级数,故发散.是交错级数满足莱布尼茨定理的条件,收敛.根据条件收敛的定义,综上有此级数条件收敛.,原级数的一般项不可能趋于零,
5、故原级数发散.类题:下列级数收敛的是(C).(A);(B);(C);(D).解:,故级数发散;,发散,故原级数发散;,收敛,故原级数收敛;,原级数发散.5.设,其中,则等于(C).(A);(B);(C);(D).解:由的表达式知道,此是以为周期的的余弦级数的和,从而有.类题:将函数展为傅里叶级数,其中的系数为(C).(A);(B);(C);(D).6.设函数在单连通区域内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在内与路径无关的充要条件是在内恒有(B)(A);(B);(C);(D).三、解答题1.求二元函数的
6、极值,并说明是极大值还是极小值.解:由为唯一驻点.又由于所以在处取得极小值为.类题:①求二元函数的极值.解:由函数中呈轮换对称性,知必有.为驻点.当时,由可知不取极值当时,由可知函数在点取得极大值为②求函数在下的最小值.③求二元函数的极值.解:为驻点.当时,由,,可知函数在点取得极小值为当时,由,可知函数在点不取得极值.④求函数在条件下的极值.解:构造拉格朗日函数为则由轮换对称性可知驻点坐标为或的任意组合.根据具体问题知道在驻点坐标为的任意组合时取得极大值,在驻点坐标为的任意组合时取得极小值.2.
7、设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,.解:,类题:①设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,.解:,②已知,求和.③设函数,其中具有二阶连续偏导数,求,.解:,3.计算二重积分,其中是由围成的闭区域.解:画图,:把二重积分转化为二次积分得:.类题:①计算二重积分,其中是由曲线围成的闭区域.解:(画图)②计算二重积分,其中是由曲线围成的闭区域.解:4.将函数展成的幂级数,并写出可展区间.解:,,即,.类题:①将函数展成的幂级数,并写出可展区间.解:,故.②求到含项的泰勒展开式.③展开为的幂级数.解:显然
8、,解得..而..④把下列函数展成的幂级数,并说明收敛范围.1);2).⑤将函数展成的幂级数,并写出可展区间.解:,(由得到)5.求微分方程满足初始条件的特解.解:通解,又由,得,故特解.类题:①求微分方程满足初始条件的特解.解:原方程,故通解,又得,故特解②求微分方程满足初始条件的特解.解:通解,又得,故特解.6.求微分方程的通解.解:由于特征方程的根为,故对应的齐次方程的通解为,故微分方程的通解.类题:①求微分方程的通解.解:由于特征方程的根为,故对应的齐次方程的通解为,故微分方
