线性系统的时域分析法(第8讲)

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1、第8讲3.3二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。3.3.1二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置，由控制输入信号确定，角位置就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置，由输出轴的位置确定。电位差就是误差信号。桥式电位器的传递函数该信号被增益常数为的放大器放大，（应具有很高的输入阻抗和很

2、低的输出阻抗）放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。(3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：（3-10）电动机的转矩系数为电枢电流85对于电枢电路（3-11）电动机电枢绕组的电感和电阻。电动机的反电势常数，电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：（3-12）J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。（3-13）根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函

3、数）因为反馈回路传递函数为1（3-14）如果略去电枢电感85（3-15）增益阻尼系数，由于电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。开环增益机电时间常数那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：（3-16）相应的闭环传递函数（3-17）为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式（3-18）－自然频率（或无阻尼振荡频率）－阻尼比（相对阻尼系数）二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示85二阶系统的动态特性，可以用和这两个参量的形式加以描述二阶系统的特征方程：（3-19）（3-20）3.3.2二阶系统的单位阶跃响应阻尼比是实际阻尼系

4、数F与临界阻尼系数的比值－临界阻尼系数，时，阻尼系数两个正实部的特征根发散，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统，为两个相等的根，两个不相等的根，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡(1)欠阻尼()二阶系统的单位阶跃响应UnderdampedCase令－衰减系数85－阻尼振荡频率，由式（3-18）得对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为（3-21）稳态分量瞬态分量稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为－阻尼振荡频率包络线决定收敛速度时，（3-23）这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡

5、频率为－故称为无阻尼振荡频率。由系统本身的结构参数K和，或和J确定，常称自然频率。·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得，而只能测得，且，不复存在，系统的响应不再出现振荡。(2)临界阻尼()CriticallyDampedCase85临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应（3-24）当时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，(3)过阻尼()Over-dampedCase（3-25）85图3-11表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线（书上图3-10P87）3.3.3二阶系统阶跃响应的性能指标·欠阻尼情况85图3-12为系统欠阻

6、尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。二阶系统一般取。其它的动态性能指标，有的可用精确表示，如,有的很难用准确表示，如,可采用近似算法。⑴j延时时间在式（3-21）中，即令可得参见书P88，在较大的值范围内，近似有（3-26）书（3-19）式85时，亦可用（3-27）（书3-20）⑵k（上升时间），求得（3-28）（3-31书）一定，即一定，,响应速度越快⑶l对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得,根据峰值时间定义

7、，应取(书3-22)⑷m超调量在峰值时间发生，故即为最大输出(3-30)(书3-23)85图3-14时，时，时，当时⑸n调节时间的计算典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应书式(3-14)令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有85时，并在上述不等式右端分母中代入，选取误差带(3-31)书(3-24)当较小⑹稳态误差定义：当时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用表示。对图3-8的标准二阶系统有利用拉氏变换的终值定理，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒