数学分析知识点总结(定积分)

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1、第一篇分析基础1.1收敛序列（收敛序列的定义）定义：设是实数序列，是实数，如果对任意都存在自然数，使得只要，就有那么收敛，且以为极限，称为序列收敛收敛于，记为或者定理1：如果序列有极限，那么它的极限是唯一的。定理2（夹逼原理）：设，和都是实数序列，满足条件如果，那么也是收敛序列，且有定理3：设是实数序列，是实数，则以下三陈述等价（1）序列以为极限；（2）是无穷小序列；（3）存在无穷小序列使得（收敛序列性质）定理4：收敛序列是有界的。定理5：（1）设，则。（2）设，，则。（3）设，，则。（1）设，，则。（2）设，，，则

2、。（收敛序列与不等式）定理6：如果，那么存在，使得时有定理7：如果和都是收敛序列，且满足那么1.2收敛原理（单调序列定义）定义：（１）若实数序列满足则称是递增的或者单调上升的，记为（２）若实数序列满足则称是递减的或者单调下降的，记为（３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理１：递增序列收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为。定理1推论：递减序列收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为。扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件

3、可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为及（自然对数的底）自然对数的底通过下面这个式子求得我们先来证明序列是收敛的。（1）序列是单调上升的。对比和的展开式，前面项的每一项都比中相应项要大，即除此之外还比在最后多一个正项。因此我们得出是单调上升的，即（2）序列是有上界的。序列是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用表示。通过计算机模拟，我们可以得到的近似值，前几位是2.718281828459045…在数学中，以为底的对数称为自然对数，称为自然对数的底，正实数的自然对数通常记为，或者。（闭区间套原理）定理2（闭区间套

4、原理）：如果实数序列和（或闭区间序列）满足条件（1）（或者）（2）那么（i）闭区间序列形成一个闭区间套。（ii）实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）是满足以下条件的唯一实数值。证明：（ii）由条件（1）可得我们可以看到单调上升而有上界，单调下降而有下界，因此和都是收敛序列。由条件（2）可得，因此实数序列和收敛于相同的极限值。（iii）因为所以显然有假如还有一个实数满足由于那么根据夹逼准则，有则证明了是唯一的。（Bolzano-Weierstrass定理）定义：设是实数序列，而是一串严格递增的自然数，则也形成一个实

5、数序列。我们把序列叫做序列的子序列（或部分序列），要注意的是子序列的序号是。定理3：设序列收敛于，则它的任何子序列也都收敛于同一极限。证明：对于任意，存在，使得只要，就有当时就有，因而此时有定理4（Bolzano-Weierstrass）：设是有界序列，则它具有收敛的子序列。（柯西收敛原理）柯西序列定义：如果序列满足条件：对于任意，存在，使得当时，就有则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理：柯西序列是有界的。证明：对于任意，存在，使得当时，就有于是对于，我们有若记则有定理5（收敛原理）：序列收敛的必要充分条件是：对任

6、意，存在，使得当时，就有换句话说：序列收敛1.3无穷大定义：（1）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有那我们就说实数序列发散于，记为（2）设是实数序列，如果对任意正实数，存在自然数，使得当时就有那我们就说实数序列发散于，记为（3）设是实数序列，如果序列发散于，即，那么我们就称为无穷大序列，记为注记：（1）若集合无上界，则记（2）若集合无下界，则记定理1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1）递增序列有极限，且（2）递减序列有极限，且定理2：设和是实数序列，满足条件则有：（1）如果

7、，那么；（2）如果，那么。定理3：如果（或，或），那么对于的任意子序列也有（或，或）定理4：设，则是无穷大序列是无穷小序列扩充的实数系：定理5：实数序列至多只能有一个极限。扩充的实数系中的运算：（1）如果，那么（2）如果，，那么如果，，那么（3）如果，那么（4），，，（5）除此之外，其余都没有定义。1.4函数的极限点的领域：点的去心领域：的去心领域：的去心领域：统一叙述：对于，我们用表示的某个去心邻域，当为有穷实数时，的形式为，当时，的形式为。函数极限的序列式定义：设（和都可以是有穷实数或者），并设函数在的某个去心邻

8、域上有定义。如果对于任何满足条件的序列，相应的函数值序列都以为极限，那么我们说当时，函数的极限为，记为简单例子如：；；；；，因为；，因为；，因为。定理1：函数极限是唯一的。定理2（夹逼原理）：设，和在的某个去心邻域上有定义，并且满足不等式如果那么定理3：关于函数的极限，有以下的运算法则：定理4（复合函数求极限）：设函数在点的某个去心邻域上有定义