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1、定积分知识点总结北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间［a,b］上.我们在a与b之间插入一些分a=x()0,M>0,在
2、
3、龙
4、
5、<》时，恒有则称该总和o■在2T0时有极限I.总和O■在2T0时的极限即f(x)在区间a到
6、b上的定积分，符号表示为2•性质设f(x),g(x)在［a,b］±可积，则有下列性质(1)积分的保序性bb如果任意"[a,b],/(x),g(x),贝ljj/(x)6Zx>Jg(x)tZr,b特别地，如果任意xe[aMfM>0,则JfMdx>0⑵积分的线性性质/;bbJ(af(x)±j3g(x))dx=ajf(x)dx±]3^g(x)dxaaabb特别地，有fcf(x)dx=cff(x).aa设f(x)在［a,b］±可积，且连续,⑴设c为［a,b］区间中的一个常数，则满足bchJf(x)dx=jf(x)dx+^f(x)dxaac实际上，将6b,c三点互换位置，等式仍然成立.(4)存在
7、处［讪，使得b“(兀皿=(b-d)/(e)a二、达布定理1・达布和分别以卑和Mj表示函数f(x)在区间比,兀+J里的下确界及上确界并且做总和SS,/)=工M,a•-无+1),$(%/)=》mi(X,.一无+］)/=1/=1g(Nj)称为f(x)相应于分割“的达布上和，$(龙,/)称为f(x)相应于分割“的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道将这些不等式逐项各乘以Ar,(心,•是正数)并依i求其总和，可以得到推论1设f(x)在［a,b］±有界.
8、设有两个分割兀，兀',加是在兀的基础上的加密分割,多加了k个新分店，则r§(龙J)>J)>S^f)-ka)\7rLS(7Vj)9、V桶［%］上一个分割},/=sup{$O,/)
10、X/龙为［a,b］上一个分割}。称7为f(x)在［a’b］上的上积分，［为f(x)在［a,b］上的下积分.定理对于f(x)在［a,b］上的有界函数，
11、则有3•函数可积分条件设f(x)在［a,b］±有界，下列命题等价:⑴f(x)在［a,b］可积;⑵4；⑶对于［a,b］上的任何一个分割71,lim工©(形-仏)=0；IkIHOH(4)任给£>0,存在》〉0,对于⑻b］上的任何分割龙,当IMIIO有工Q,(兀一兀•」)<£/=1成立;(5)任给£>0,在［a,b］存在一个分割龙，当
12、M
13、
14、v〃时有工0(再一兀_1)<£/=!成立.这里禺为f(x)在区间［形,无_
15、］上的振幅.三、微积分基本定理定理(Newton-Leibniz公式)设f(x)在［a,b］上可积,且在［a,b］±有原函数F(x),贝！)bJf(x)dx=F(b)-F(a)
16、a注：l・f(x)是F(x)的原函数，故当广吋，该公式可写为bJf(x)dx=f(b)-f(a)a1.上述定理并不是说可积函数一定有圆环数，而是说如杲存在原函数，那么可用来计算定积分的值.Newton-Leibniz公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.四、定积分的计算除了利用Newton-Leibniz公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分.b1定积分中变量替换公式设要计算积分jfMdx,这里f(x)是在区间&b］内连续的.令x=(p⑴,函数0⑴具备下列条件：1)函数©⑴在某一区间内有定义且连续，而其值当t在［/0
17、］内变化时恒不越出区间［a,b］的范围；2)(p(a)=a,(p(/3)=b3)在区间［o,0］有一连续函数0(/)・于是成立公式b0Jf{x)dx=J由于被积函数假设是连续的，不但这些定积分存在，同吋其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式.2定积分的分部积分法在不定积分部分曾经讨论过公式
18、udv=uv-^vdu,bjudv=uvabjvdua这里假设以x为自变量的函数u,v以及其导函数f,『都是在考虑区间［a,b］里连续的.则我们有五、定积
