勾股定理的证明(比较全的证明方法)

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1、勾股定理的证明325242两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际,以至于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明.因此不断出现关于勾股定理的新证法.1.传说中毕达哥拉斯的证法2.赵爽弦图的证法4.美国第20任总统茄菲尔德的证法3.刘徽的证法勾股定理的证明5.其他证法这棵树漂亮吗?如果在树上挂上几串彩色灯泡,再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人,是不是更像一棵圣诞树.也许有人会问:“它与勾股定理有什么关系吗?”仔细看看,你会发现,奥妙在树干和树枝

2、上,整棵树都是由下方的这个基本图形组成的:一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形.这个图形有什么作用呢?不要小看它哦!古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理.关于勾股定理的证明,现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得(公元前300年左右)所著的《几何原本》第一卷中的命题47:“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”.其证明是用面积来进行的.传说中毕达哥拉斯的证法已知:如图,以在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以a、b、c为边向外作正方形.求证:a2

3、+b2=c2.∴S矩形ADNM=2S△ADC.又∵正方形ACHK和△ABK同底(AK)、等高(即平行线AK和BH间的距离),∴S正方形ACHK=2S△ABK.∵AD=AB,AC=AK,∠CAD=∠KAB,∴△ADC≌△ABK.由此可得S矩形ADNM=S正方形ACHK.同理可证S矩形MNEB=S正方形CBFG.∴S矩形ADNM+S矩形MNEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG.即S正方形ADEB=S正方形ACHK+S正方形CBFG,也就是a2+b2=c2.传说中毕达哥拉斯的证法证明:从Rt△ABC的三边向外

4、各作一个正方形(如图),作CN⊥DE交AB于M,那么正方形ABED被分成两个矩形.连结CD和KB.返回∵由于矩形ADNM和△ADC同底(AD),等高(即平行线AD和CN间的距离),我国对勾股定理的证明采取的是割补法,最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》.在这篇短文中,赵爽画了一张他所谓的“弦图”,其中每一个直角三角形称为“朱实”,中间的一个正方形称为“中黄实”,以弦为边的大正方形叫“弦实”,所以,如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长,那么:赵爽弦图的证法得:c2=a2+b2.返回刘徽在《九章

5、算术》中对勾股定理的证明:勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也.令正方形ABCD为朱方,正方形BEFG为青方.在BG间取一点H,使AH=BG,裁下△ADH,移至△CDI,裁下△HGF,移至△IEF,是为“出入相补,各从其类”,其余不动,则形成弦方正方形DHFI.勾股定理由此得证.刘徽的证法返回学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有500余种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法

6、在数学史上被传为佳话.总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的:1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?只

7、见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.总统巧

8、证勾股定理美国第二十任总统伽菲尔德总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回向常春的证明方法注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法.abcba-bADCBEc我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的.试一试证明:上面的大正方形的面积为:下面大的正方形的面积为:从右图中我们可以看出,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等,即观察下面的图形,你还能发现什么吗?

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