利用密间向量巧解立体几何问题

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1、利用空间向量巧解立体几何问题陕西户县第六中学（710300）杨钊向量可分为平面向量和空间向量，而空间向量与立体几何之间存在着密切联系，利用空间向量可以解决四类问题：⑴判断平行与垂直　⑵求空间距离　⑶求空间角　⑷求点的轨迹等。下面举几个例子加以说明：一、利用空间向量求空间距离例1、正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，求直线DA1和直线AC之间的距离解：以D为原点建立空间直角坐标系则A1（1，0，1）　A（1，0，0）　C（0，1，0）　　D（0，0，0）∴＝（-1，0，-1）　＝（-1，1，0）　＝（0，0，1）

2、设A1D和AC的公垂线的方向向量为n＝（x,y,z）　　　　　　　　　　　n．＝0那么n　．＝0-x-z＝0∴-x+y＝0x＝-z∴y＝x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图　一取Z＝-1　　　则x＝1y＝1∴n＝(1,1,-1)那么A1D和AC之间的距离为d＝=＝==评注：在两异面直线上各取一点A、A1，那么线段AA1在两异面直线的公垂线的方向向量上的投影的长度就是这两异面直线的距离d，即d=二、利用空间向量求空间角例2已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABC

3、D，E，F分别是AB，PC的中点⑴求证：EF∥平面PAD⑵求证：EF⊥CD⑶若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小解：⑴建立如图所示空间直角坐标系。设AB＝a,BC＝b,PA＝c则A（0，0，0）B（a,0,0）C(a,b,0)D(0,b,0)P(0,0,c)∴E（F()∴＝(0,设平面PAD的法向量为n　　　　　则n＝＝(a,0,0)∵·n＝(0,．（a,0,0）＝0∴⊥n∴EF∥平面PAD⑵　　∵＝(0,＝(0,b,0)－(a,b,0)＝(-a,0,0)∴·＝(0,．(-a,0,0)=0∴EF⊥C

4、D⑶若∠PAD=45°则b=c　　　　　　　　　　　　　　　　　　图　二设平面ABCD的法向得为n′则n′==(0,0,c)　　Cos<,n’>====∴<,n′>=　　∴EF与平面ABCD所成的角<,评注：当＜，n′>为锐角时，EF与平面PAD夹角为θ＝,n′>-当<,　n′>为钝角时，　　EF与平面PAD的夹角为θ=<，n′>-三、利用空间向量求轨迹例3已知正方体ABCD―EFGH中，点P在侧面BCGF及边界上运动，并且总得保持AP⊥BH　　求动点P的轨迹解：以D为原点建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1ABzD

5、EFGCHPxy则D（0，0，0）A（1，0，0，）B（1，1，0）H（0，0，1）由于点P在侧面BCGH及边界上运动。所以可设P(X,1,Z)所以＝（X-1,1,Z）=(-1,-1,1)∵AP⊥BH∴．=0∴(X-1)·(-1)+1·(-1)+Z·1=0∴X=Z(y=1)∴点P的轨迹为线段FC　　　　　　　　　　　　图　三评注：由于点P在侧面BCGF及边界上运动，所以点P的y坐标为1。