利用空间向量的直角坐标巧解立体几何题.doc

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1、利用空间向量的直角坐标巧解立体几何题一知识点精讲1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；建系方法：右手系，从轴到轴是逆时针方向。2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，

2、叫竖坐标．3共面向量定理向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使．4推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使5空间向量基本定理对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．四点共面与、共面（平面ABC）6．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则，，，，，．...（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标（3）模长公式：若，，则，．（

3、4）．两点间的距离公式：若，，则，或（5）．夹角公式：．（6）如果⊥，那么向量叫做平面的法向量．7空间中的距离：空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条

4、异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。①找平面使且，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离，又转化为到平面的距离.②空间向量法、在上取一点A,在b上取一点B,设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线的距离（此方法移植于点面距离的求法）．（2）点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。,如果知道体积和一个面的面积就可以求出这个面上的高。...③空间向量法法一

5、、设是平面的法向量，在内取一点B,则到的距离法二、设于O,利用和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出．8空间中的夹角：空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为、。（1）异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。方法三通过两条异面直

6、线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角的余弦为（2）直线和平面所成的角斜线为，方法一:“一找二证三求”，先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。方法二:如果垂足不好确定，可以不作垂足，转化成求点到平面的距离，如何求点到平面的距离呢，可以用体积法。方法三：空间向量法设是斜线的方向向量，是平面的法

7、向量，则斜线与平面所成的角（3）二面角分别在两个半平面内作棱的垂线所组成的角就是二面角的平面角。求二面角a－l－b的平面角（记作q）通常有以下几种方法：方法一根据定义；方法二过棱l上任一点O作棱l的垂面g，设g∩a＝OA，g∩b＝OB，则∠AOB＝q(图1)；方法三利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面a内一点A，分别作另一个平面b的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝q或∠ACB＝p－q(图2)...；两次垂直，一次连接方法四设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，A