高等数学证明中辅助函数的构造

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1、高等数学证明中辅助函数的构造王春珊　张绍兰　　　　　　　　　　（安徽工商职业学院，安徽　合肥　230041）摘要：本文系统归纳了高等数学证明中常见四种辅助函数的构造，每种类型用实例加以介绍说明，对学习高等数学的证明有一定的指导作用.关键词：辅助函数；原函数；求导法则；不等式在高等数学许多问题的证明中需要构造辅助函数，但如何构造辅助函数是学生在学习高等数学中的难点之一，现将高数学证明中的构造相关辅助函数常使用的方法构造如下.一、不等式证明中辅助函数的构造1.关于型不等式的证明.一般情况下可考虑构造辅助函数，然后确定的比较点（

2、或），并利用的单调性加以证明.例1　证明　，.证明　设，则，.故可补充定义，使在上连续，由此可知，只要证明在上单调递增即可.因为，为确定的符号，再设，且.则，.故在上为单调递增且，因此，在区间中，，从面在上也是单调递增的，所以，即，这就证明了在上是单调递增的，即，命题得证.对于型不等式，在某些情况下，也可通过适当变形化为对某一辅助函数单调性的讨论，从而加以证明.例2设且，证明　.分析：由于，故所证不等式似乎是关于的单调函数，但由于是两个变量，如果能转化为一个变量的问题就容易了.根据所证不等式结构及的情况，所证不等式等价于不

3、等式　　　　　　　　　设，则原不等式转化为函数，的单调性的讨论.证明　根据上述分析，构造辅助函数，则　　　，由于，所以故＜0，所以在上单调递减，而，所以，即命题成立.2.关于型不等式证明.常用的简便方法是考虑在上是取大值、最小值来证明.例3　证明不等式　　　　　　　　　　.证明　设，.由于在上连续，故在区间上一定有最大值和最小值.　　　，令，则（驻点）.因为　，所以在上，故.3.含有定积分的不等式.一般情况下常把定积分的上限选为所构造辅助函数的自变量.例4　设在区间上连续，证明证明　　设且，则　　　　　　所以在上为增函数，

4、故，即命题得证.二、应用求导法则构造辅助函数这里主要应用幂函数、对数函数、函数乘积求导时出现的特殊情况构造辅助函数.例如　设均可导，则，，.因此当所证结果中出现，，等形式时，可构造形如，或等形式的函数.例5　设函数在上连续，在内可导，且，，.证明　在内至少存在一点，使得.证明　设，则由知　　　故由已知条件知，在上满足罗尔中值定理，即在内至少存在一点使得，即，所以.三、方程根的存在性证明中辅助函数的构造通过下面例子说明其方法.例6　讨论方程（）有几个实根.分析：设，，则如果的最小值在轴上方，曲线与轴无交点，方程无实根；如果的

5、最小值在轴上，曲线与轴只有一个交点，方程只有一个实根；如果的最小值在轴下方，讨论函数的单调区间等性质判断曲线与轴的交点数，从而求得方程实根的个数.解　设，，则　　　　，令　得　.因为　　　当　时，；当　时，.所以在时取得最小值.当时，即，曲线与轴无交点，方程无实根；当时，即，曲线与轴只有一个交点，方程只有一个实根；当时，即时，因为当时，，单调递减，当　时，，单调递增.所以曲线与轴有两个交点，即方程有两个实根.四、应用原函数构造辅助函数现结合实例说明这种方法.例7　（拉格朗日中值定理）设函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）

6、在开区间上可导.则在中至少存在一点使得.分析：即要在中至少存在一点使得.这时注意到为在点的函数值，而的一个原函数为，故所证等式为的导函数在内至少有一个零点.根据本定理的条件及罗尔定理自然想到，只须验证函数满足罗尔定理条件即可证明本定理的结论，当然辅助函数也就构造出来了.证明略.例8　证明若非线性函数在上连续，在上可导，则必有，使得.分析：所要证不等式显然是比较函数与的导函数在内某一点上值的大小问题，因此可构造辅助函数.但是为了使构造的辅助函数具有更好的性质，如除要辅助函数连续、可导外，还要其在区间两端点上的函数值相等且等于

7、0，故构造辅助函数：.证明　因为，又由于非线性，故不恒为0，因此必有使得，不妨设，对于在上分别应用拉格朗日定理有..故　　　　　所以这即为记，则.参考文献：［1］华东师范大学数学系编.数学分析，高等教育出版社，1987AdvancedmathematicstoprovethestructureofauxiliaryfunctionWangchunshanzhangshaolan(AnhuibusinessvocationalcollegeAnhuiHefei230041)Keywords:Auxiliaryfunction

8、，Theoriginalfunction，Derivationrules，InequalityAbstract:作者简介：王春珊，男，1969.11　　　安徽工商职业学院副教授　　　　　张绍兰，女，　　　　　　安徽工商职业学院副教授通讯地址：合肥市砀山路233号安徽工商职业学院电子邮箱：chunshan