上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用

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1、复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线在点处切线的倾斜角为()A．B．C．D．【答案】C2．若，则=()A．1B．0C．0或1D．以上都不对【答案】C3．是()A．B．C．D．【答案】A4．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积是()A．B．C．D．【答案】A5．曲线在点处的切线的斜率为()A．B．C．D．【答

2、案】A6．由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．2ln2【答案】D7．函数处的切线方程是()A．B．C．D．【答案】D大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com8．=()A．2B．4C．πD．2π【答案】A9．设点是曲线上的任意一点,点处切线倾斜角为，则角的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A10．曲线在点处的切线方程为()A．B．C．D．【答案】C11．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A．B．C．D．【答案】D12．函数在点处的导数是()A．B．C．(D)【答案】D

3、第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．______.【答案】14．已知一组抛物线，其中为1、3、5、7中任取的一个数，为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是．【答案】15．已知，则＝大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com【答案】16．函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，，则.【答案】6三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1

4、7．定义函数．(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程；(2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；(3)当，且时，证明．【答案】（1），由，得．又，由，得，．又，切点为．存在与直线垂直的切线，其方程为，即(2）．由，得．由，得．在上有解．在上有解得在上有解，．而，当且仅当时取等号，．(3）证明：．令，则，当时，∵，∴，单调递减，大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com当时，．又当时，，当．且时，，即．18．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每

5、件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12－x）2万件。(1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；(2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．【答案】（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．(Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．(2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大

6、，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com（万元）．19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白.(1)试确定画面的高与宽的尺寸，使宣传画所用的纸张面积最小；(2)当时，试确定的值，使宣传画所用纸张面积最小。【答案】设画面的高为，宽为，则，(1)设纸张面积为，则有当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.(2)如果，则上述等号不能成立.函数S(λ)在上单调递增.现证明如下：

7、设,则因为，又，所以，故在上单调递增,因此对，当时，取得最小值.20．已知函数在处有极大值7．(Ⅰ)求的解析式；大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家...www.TopSage.com(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)求在=1处的切线方程．【答案】(Ⅰ)，,∴．(Ⅱ)∵，由得解得或由得，解得∴的单调增区间为，的单调减区间为．(Ⅲ)∵又∵f(1)=-13∴切线方程为21．已知函数f（x）＝ex－k－x，（x∈R）(1）当k＝0时，若函数g（x）＝的定义域是R，求实数m的取值范围；(2）试判断当k>1时，函数f（x）在（k,2k）内是否存在零点．【答案】（1

8、）当k＝0时，f（x）＝ex－x，f′（x）＝ex－1，令f′（x）＝0得，x＝0，当x<0时f′（x）<0