函数凹凸性的性质判定及应用

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时间:2018-07-22

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1、函数凹凸性的判定性质及应用曹阳数学计算机科学学院摘要:函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手,引出凹凸函数的性质,介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上,将一元函数的凹凸性进行推广,推广到二元函数上,讨论了二元函数凹凸性的性质,判定方法及其应用。一元到二元,即增加了一个变量,那么对于n元的情况是否有相似的函数存在呢?本文层层深入,将二元函数进行再次推广,至n元的情形,给出n元凹凸函数的定义,判定方法及性质。本文主要讨论了一元,二元,多元凹凸函数的定义,性质,及判定方法,并介绍了它

2、们应用。关键词:凹凸性;一元函数;二元函数;多元函数;判别法;应用;Convex function of JudgePropertiesandApplicationsAbstract:Thefunctionofconvexityinmathematicalresearchisofgreatsignificance.Inthispaper,thedefinitionofconvexfunctionofavarietyofstart,leadstounevennatureofthefunction,describe

3、sthepropertiesofconvexfunctionsanddecisiontheorem.Onthisbasis,theconcaveandconvexfunctionsofonevariabletopromote,promotetothebinaryfunction,discussestheunevennatureofthenatureofthebinaryfunction,determinethemethodanditsapplication.Onetoabinary,anincreaseofav

4、ariable,thenforn-whetheritisasimilarfunctionexist?Thislayersofdepth,thebinaryfunctiontore-promote,tothecaseofn-givendefinitionofn-convexfunction,determinethemethodsandproperties.Thisarticlefocusesononeelement,binary,multipleconvexfunctiondefinition,nature,an

5、djudgingmethods,anddescribestheirapplication.Keywords:Convexity;OneFunction;Binaryfunction;Multiplefunctions;Criterion;Applications;1.引言凸函数是数学中一类极其重要的函数,它在最优化,运筹与控制理论,模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用,而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点,这说明凸性在大学数学,特别是数学分析中的应用没

6、有得到应有的正视,长期以来,凸函数被热为只在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中具有重要的运用,而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中,我们首先给出凸函数的多种定义,性质,然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义,判定及性质。2.一元函数凹凸性的判定2.1 凸函数的多种定义及等价证明下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR,f:IR.定义2.1.11:f在I内连续f(),则称f为凸函数。定义2.1.21:若则称f为凸函数定义2.1.

7、31:的行列式0,则称f为凸函数定义2.1.41:,则称f为凸函数定义2.1.51:,则称f(x)为凸函数定义2.1.61:则称f(x)为凸函数定义2.1.71:若f在I内存在单增函数,I,xI,有f(x)-f()=,则称f为凸函数。定义2.1.81:设f在I上连续,且有,则称f为凸函数。定义2.1.91:若,...,I,f()(nN),则称f为凸函数。定义2.1.101:若f在I内可导,x,yI,有f(x)(y)(x-y)+f(y),则称f为凸函数。定义2.1.111:若f在I可导,且(x)单调递增,则称f为

8、凸函数。定义2.1.121:f在I内二次可导,(x)0,则称f为凸函数。定义2.1.131:f在区间I上凸函数的充要条件是:函数为[0,1]上的凸函数,下面给出几种定义间的相互证明。定理2.1.11 若f在区间I上可导,则定义7定义10证明:因为f在I内存在单增函数,I,f(x)-f()=(1)故对于yI,不妨设y<x,有: f(y)-f()=       (2)将式(1)两边关于x求

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