数学思想与方法作业-参考解答

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1、一、简答题1.分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。　代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。　它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。2.比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限

2、。解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。　　随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。　在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定

3、数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。二、论述题1.论述社会科学数学化的主要原因。解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。2.论述数学的三次危机对数学发展的作用。解答：第一

4、次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题1.分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？（1）封闭的演绎体系　因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所

5、采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。　　另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容10　　《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。（

6、3）公理化的方法　　《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。2.分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？解答：（1）开放的归纳体系　　从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。　　在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问

7、题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。　　（2）算法化的内容　　《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。　　（3）模型化的方法　　《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原

8、型，并把它