1.椭圆的几何性质

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1、1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方

2、程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别

3、等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，3是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．2..文字语言定义平面内一个动点到

4、一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。2.集合语言定义设双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,这时称集合{M

5、

6、MF

7、/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.注意:定点F要在定直线外且比值大于1.3.标准方程设动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,则由

8、MF

9、/d=e>1.推导出的双曲线的标准方程为(x²/a²)-(y²/b²)=1其中a>0,b>0,c²=a²+b².这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:(y

10、²/a²)-(x²/b²)=1.同样的：其中a>0,b>0,c²=a²+b².编辑本段·双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点：A(-a,0)，A’(a,0)。同时AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a.B(0,-b)，B’(0,b)。同时BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b.4、渐近线：焦点在x轴：y=±(b/a)x.焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角令1-ecosθ=0

11、可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）3x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2（注意化简一下）直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】则θ=θ’+【PI/2

12、-arccos（1/e）】带入上式：ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/25、离心率：第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞).第二定义：双曲线上的一点