2019版一轮优化探究文数第五章 第三节　平面向量的数量积及平面向量应用举例练习

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1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习一、填空题1．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为________．解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.答案：－12．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC的形状是________．解析：＝(1,1)，＝(－3,3)，知·＝0，故△ABC是直角三角形．答案：直角三角形3．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且

2、

3、＝，

4、

5、＝1，则·(－)的值是________

6、．解析：由已知，D为BC的中点，＝(＋)，∴·(－)＝(＋)·(－)＝(

7、

8、2－

9、

10、2)＝1.答案：14．设向量a＝(cos55°，sin55°)，b＝(cos25°，sin25°)，若t是实数，则

11、a－tb

12、的最小值为________．解析：因为

13、a－tb

14、＝＝＝，而a·b＝(cos55°，sin55°)·(cos25°，sin25°)＝cos55°×cos25°＋sin55°×sin25°＝cos(55°－25°)＝，所以

15、a－tb

16、＝＝5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习＝，故

17、a－tb

18、的最小值为.答案：

19、5．已知

20、a

21、＝6，

22、b

23、＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是________．解析：a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos〈a，b〉＝＝－，∴

24、a

25、·cos〈a，b〉＝6×(－)＝－4.答案：－46．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ>0，λ<，又a、b同向共线时，a·b>0，∴a＝kb(k>0)，i－2j＝k(i＋λj)，∴∴λ＝－2，∴a、b

26、夹角为锐角的λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，)．答案：(－∞，－2)∪(－2，)7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________.解析：由题知·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝()2＝2⇒c＝

27、

28、＝.答案：8．已知单位向量a，b满足

29、ka＋b

30、＝

31、a－kb

32、(k>0)，则a·b的最小值为________．5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习解析：把

33、ka＋b

34、＝

35、a－kb

36、两边平方并化简得a·b＝＝(k＋)≥(∵k>0)．故a·b的最小值为.答案：9．已知△ABO

37、三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．解析：由已知得(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案：3二、解答题10．已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ，θ∈R.(1)求

38、a

39、2＋

40、b

41、2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝，求证：a∥

42、b.解析：(1)因为

43、a

44、＝，

45、b

46、＝，所以

47、a

48、2＋

49、b

50、2＝2.(2)因为a⊥b，所以cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z.(3)证明：因为θ＝，所以5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos·sin－cos(－)·sin(－)＝cos·sin－sin·cos＝0，所以a∥b.11．设两个向量e1、e2满

51、足

52、e1

53、＝2，

54、e2

55、＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简即得2t2＋15t＋7<0，解得－7

56、sx，sinx)，b＝(sin2x，1－cos2x)，c＝(0,1)，x∈(0，π)．(1)向量a，b是否共线？并说明理由；(2)求函数f(x)＝

57、b

58、－(a＋b)·c的最大值．解析：(1)b＝(sin2x,1－cos2x)＝(2sinxcosx,2sin2x)＝2sinx(cosx，sinx)＝2sinx·a，且

59、a

60、＝1，即a