2019届高考高三理数一轮复习同步规范答题强化练（3）数列含解析

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1、2019届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练规范答题强化练（三）数　　列(45分钟　48分)1.(12分)已知正项等比数列{an}满足a1,2a2,a3+6成等差数列,且=9a1a5.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=·an,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由=9a1a5=9,(2分)故q2==9,(3分)解得q=±3,因为q>0,所以q=3.又因为a1,2a2,a3+6成等差数列,所以a1+(a3+6)-4a2=0,解得a1=3,(4分)所以数列{an}的通项公式为an=3n.(6分)(2)依题意得bn=(2n+1

2、)·3n,则Tn=3·31+5·32+7·33+…+(2n+1)·3n,①(7分)3Tn=3·32+5·33+7·34+…+(2n-1)·3n+(2n+1)·3n+1,②由②-①得2Tn=(2n+1)·3n+1-2·(32+33+…+3n)-32=(2n+1)·3n+1-2·-32=2n·3n+1,(10分)42019届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练所以数列{bn}的前n项和Tn=n·3n+1.(12分)2.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3,n∈N*.(1)求证:数列{an+3}是等比数列.(2)求数列{nan}的前n项和Sn.【解析】(1)==2,(

3、n∈N*),因此数列{an+3}是等比数列,且公比为2.(4分)(2)由(1)及题设可知,数列{an+3}是首项为4,公比为2的等比数列,因此an+3=4×2n-1=2n+1,于是an=2n+1-3;所以n·an=n·2n+1-3n.(6分)设bn=n·2n+1,cn=-3n,并设它们的前n项和分别为Tn,Rn.则Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,①(8分)所以2Tn=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2　②②-①得Tn=-22-23-24-…-2n+1+n·2n+2=n·2n+2-4·=(n-1)·2n+2+4,(10分)又Rn=·n=-n2-

4、n,故Sn=Tn+Rn=(n-1)·2n+2-n2-n+4.(12分)3.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=2an-1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,不等式k(Sn+1)≥2n-9恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)令n=1,S1=2a1-1=a1,42019届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练解得a1=1.(2分)由Sn=2an-1,有Sn-1=2an-1-1,两式相减得an=2an-2an-1,化简得an=2an-1(n≥2),所以数列{an}是以首项为1,公比为2的等比数列,所以数列{an}的通项公式an=2n-1

5、.(4分)(2)由k(Sn+1)≥2n-9,整理得k≥,令bn=,则bn+1-bn=-=,n=1,2,3,4,5时,bn+1-bn=>0,所以b1b7>b8>….因为b5=

6、)由题意,Sn=2an-a1,则当n≥2时,Sn-1=2an-1-a1,两式相减得an=2an-1(n≥2),所以a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=2a3=8a1,又a1,a3+1,a4成等差数列,所以2(4a1+1)=a1+8a1,解得a1=2,(4分)所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n.(6分)42019届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练(2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=,由(n-8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立,知≥k对n∈N*恒成立,(8分)设cn=(n-8)(n+1)=(n2-7n-8),

7、则当n=3或4时,cn取得最小值,为-10,所以k≤-10.(12分)4