知识点38 相似、位似及其应用2017（解答题）

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1、2017中考数学真题解析分类三、解答题1.（2017山东泰安，27，10分）（本小题满分10分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．思路分析：（1）利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）过点C作CM⊥PD于点M，由相似的证明方法，得出△CPM∽△APD，利用对应边成比例的关系，求出EC的长即可得出答案．解：（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠

2、ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，2017中考数学真题解析分类∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴，解得：x=，∴AE=1﹣=．2.（2017江苏宿迁）（本小题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边A

3、B，AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时候，求证：FE平分∠DFC．思路分析：（1）根据两角相等，两三角形相似得证，（2）证明△EDF∽△CEF得∠CFE=∠EFD解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE∴△BDE∽△CEF；（2）由（1）得：，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴，即，∵∠C=∠DEF2017中考数学真题解析分类∴△EDF∽△CEF∴∠CFE=∠EFD，即FE平分∠DFC．3.（2017江苏宿迁）（本小题满分10分）如图，在矩形纸片AB

4、CD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCF沿AE折叠，得到多边形AB’C’E，点B，C的对应点分别为点B’，C’，（1）当B’C’恰好经过点D时（如图1）求线段CE的长；（2）若B’C’分别交AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°，（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C’移动的路径长．思路分析：（1）利用△AB’D∽△DC’E相似，对应边成比例得解，（2）证明△AB’F和△EDG是等腰直角三角形，（3）点C’的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧，解：（1）由折叠知：∠B’=

5、∠B=90°，AB’=AB=1，B’C’=BC=，C’E=CE；由勾股定理得B’D==，∴D’C’=-，∵∠ADE=90°，∴∠ADB’+∠EDC’=90°∵∠ADB’+∠DAB’=90°，∴∠EDC’=∠DAB’，∵∠B’=∠C’=90°，∴△AB’D∽△DC’E∴，即，∴CE=；2017中考数学真题解析分类（2）如图，连接AC，∵tan∠BAC=，∴∠BAC=60°，∠DAC=60°，∵∠DAE=22.5°，∴∠EAC=30°-22.5°=7.5°，由折叠得∠B’AE=∠BAE=67.5°∴∠B’AF=45°，∴AF=，DF=-，∵∠B’FA=45°，

6、∴S△DFG==;（3）如图，连接AC’，则AC’=AC=2，∴点C’的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧，当点E运动到点D时，点C’恰好在CD的延长线上，此时∠CAC’=60°，∴点C’移动的路径长是．4.(2017甘肃天水．24．10分)和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点.(1)如图(1)，当点在线段上，且时，求证：.(2)如图(2)，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长.2017中考数学真题解析分类答案：(1)证明：∵是等腰直角三角形∴AB=AC，

7、又∵AP=AQ，∴BP=CQ∵E是BC的中点，∴BE=EC∴(2)∵∴∴∴又∵BE=EC∴当，∴BC=5.（2017·湖南株洲，22，8分）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．解题思路：（1）在△DAE和△DCF中易于发现AD＝CD，DE＝DF，又∠ADE＝90°－∠ADF＝∠CDF，所以△DAE≌△DCF；（2）因为∠CGF＝∠AGB，只需证明∠B＝∠CFC即可．证明：（1）∵等腰直角三角形DEF，正方形ABCD，∴DE＝DF，DC＝

8、DA，∠B＝∠EDF＝∠ADC＝90°，∠EFD＝∠DEF＝45°