高中数学排列组合问题的几种基本方法

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1、高中数学排列组合问题的几种基本方法1. 分组(堆)问题分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.)处理问题的原则:①若干个不同的元素“等分”为m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!②若干个不同的元素局部“等分”有m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积.④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1. 分组(堆)问题 例1.有四项不同的工程,要发包给三

2、个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤:⑴先将四项工程分为三“堆”,有种分法;⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队,有3!=6种给法.∴共有6×6=36种不同的发包方式.2.插空法:  解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以解决.♀ ♀♀  ♀ ♀♀  ♀↑ ↑ ↑ ↑ ↑  ↑例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法?解:分两步进行:第1步,把除甲乙外的一般人排列:第2步,将甲乙分别插

3、入到不同的间隙或两端中(插孔):几个元素不能相邻时,先排一般元素,再让特殊元素插孔.3.捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素,然后再进行整体排列.例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解:(1)分两步进行:♀♀♀♀♀♀甲乙第一步,把甲乙排列(捆绑):第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列.4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的

4、顺序.或者,先让其它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?解法1:将5个人依次站成一排,有种站法,然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好,有种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为4.消序法(留空法)变式:如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?解:如图所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→

5、7将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列,有种排法.其中必有四个↑和七个→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有条不同的路径.5.剪截法(隔板法):n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配

6、方案共有___种.解:问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串,截为4段有种截断法,对应放到4个盒子里.因此,不同的分配方案共有455种.5.剪截法:n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式:某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.解:问题等价于先给2班1个,

7、3班2个,4班3个,再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串,截为4段有种截断法,对应放到4个盒子里.因此,不同的分配方案共有84种.6.错位法:编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解

8、:选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9=135种.7.剔除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.例7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax

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