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1、2021/7/251第一章排列、组合和二项定理25七月2021解排列组合问题的几种基本方法从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.2021/7/253④要明确组的顺序时，必须先分组后再把组数当作元素个数作全排列.②若干个不同的元素局
2、部“等分”有ｍ个均等组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以m!①若干个不同的元素“等分”为ｍ个组,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分组问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.分组问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：1.分组问题2021/7/254例1.有四项不同的工程，要分包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“
3、组”，有种分法；⑵再将分好的三“组”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.1.分组问题2021/7/255例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？♀♀ ♀♀♀解：分两步进行：♀♀几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：↑↑↑↑↑ ↑解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.2.插空法：2021/7/256相邻元素的排列，可
4、以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.3.捆绑法例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?♀♀♀♀♀♀解：（1）分两步进行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：♀♀几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.2021/7/257例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空
5、位置自然就是顺序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：将5个人依次站成一排，有解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为2021/7/258变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?解:如图所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个
6、→组成!所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有条不同的路径.4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有种排法.2021/7/259n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法（隔板法）：解：问题等价于把16个相同小球
7、放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.2021/7/2510n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1到4班4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.5.剪截法：解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再
8、把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种.2021/7/2511编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的
