巧用一次函数解决最值问题

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1、巧用一次函数解决最值问题棠下中学王琴“数学来源生活，用数学解决生活的问题”，是新课标所倡导的一个主旨之一。“一次函数最值问题”既是一次函数的具体应用,更是中考的热点.何时获得最大利润?最大利润是多少?这是一个现实生活中的最值问题.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过一次函数的增减性可使问题得以解决.首先要具备以下知识：一次函数,具有以下性质:：(1)当时,y随的增大而增大；(2)当时,y随的增大而减小．这实际上就是一次函数的增减性．利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题．对一次函数在实际问题中应用的理解一．一次函数中的自变量取值范围是

2、全体实数，其图象是一条直线，所以此函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量往往有一定的限制，故就有了最大或最小值，在求函数最值时，就先求出函数表达式，并确定出增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。二．一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合

3、的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。三．一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。四．一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：I方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题；（

4、5）利润最大①物资调运例1某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C，D两县的化肥到A，B两县的运费（元/吨）如下表所示．出发地运费目的地CDA3540B3045（1）设C县运到A县的化肥为吨，求总运费(元）与（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．9析解：本题求解的关键是确定C，D两县分别运往A，B两地的化肥数量，可依据C，D两县原有的化肥数量和C县已经运到A县的化肥数量及A，B两县所需的化肥数量关系综合起来求解．具体情况如下：

5、C运往A县的化肥为吨，则其运往B县的化肥为吨，D运往A县的化肥为吨，运往B县的化肥为吨．再根据C，D两县运往A，B两县的运费便可知道与之间的函数关系式,，由一次函数的性质可知当时，运费最低，元，则运送方案为：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的化肥全部运往A县．求解物资调运问题的一般策略：⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；⑵根据表格中量的关系写函数式；⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物

6、资等多种类型。②方案比较例题2（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．求解方案比较问题的一般策略：⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。9⑶方案比较中尤其要注

7、意不同的区间，多对应的大小关系不同。方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。II分段函数问题①分段价格例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，x与y之间的函数关系如图13所示． （1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2