巧用函数模型解决最值问题.doc

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1、巧用函数模型解决最值问题江苏省江阴长泾中学刘云彬函数最值是函数概念的一个重要组成部分，在研究函数图象、性质及实际问题中非常有用。求函数最值问题的方法有很多，如观察法、配方法、图象法、判别式法、换元法等等。但广大师生仍普遍感到非常困难，本文将巧用数学模型，将问题化归到某一模型上去讨论，可以收到出奇制胜的效果。例1．若实数x，y满足3x-2y-5=0（1≤x≤3），求的最值。方法1.构造函数模型方法2.构造斜率模型是分式函数，其结构与斜率公式相似，由此可视此式为定点（0，0）与线段3x-2y-5=0（1≤x≤3）上动点P（x，y）连线的斜率，易知归纳：对一类化归为的函数最值问题，运用斜率模型求解不

2、失为一种行之有效的方法。例2.若点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求的最小值。方法一.构造函数模型中a，b均为变量，化为单参数问题即可。方法二：构造距离模型可考虑两点间距离模型，上式可看成求动点（a，b）到（1，1）的距离的最小值。根据数形结合知引申：求函数解：=可考虑两点间距离模型。上式可以看成求动点P（x，0）到点A（5，1）、点B（1，2）两点的距离之和的最小值。如图，又点B（1，2）关于x轴的对称点B，（1，-2）到点A（5，1）的距离即为所求的最小距离，故。例3.设a<0，b≤0，c>0,函数F（x）=-4a(ax2-bx+c)，已知F（c）=0，求函数F（x）的最大值之最小值。

3、常规方法：由F（c）=0得-4ac（ac-b+1）=0∵a<0，b≤0，c>0，∴ac-b+1=0，∴b=ac+1≤0，ac≤-1根据二次函数性质，由F（x）的表达式知函数F（x）的最大值为M=当且仅当ac=-1时等号成立，故F（x）的最大值之最小值为4。方法2.利用该题的几何意义将此题化为：已知抛物线V：y=-4a(ax2-bx+c)，（a<0，b≤0，c>0），经过点P（c，0），其顶点为M，求点M到x轴距离的最小值。解：在题设下，抛物线V开口向下，如图对称轴l：位于左半平面或与y轴重合，抛物线V与x轴有两个交点，P（c，0），Q（），分别位于右半平面与左半片面顶点M始终在上半片面，而且当

4、对称轴逐渐移近y轴时，点M随之向x轴靠近，因此当l与y轴重合时，（即b=0，时）点M到x轴的距离最小，其值为点M的纵坐标。例4．如图，一工兵在河岸A处发现水中S处有一水雷，水雷离岸的距离SB=10m，而工兵距B点的距离为20m，工兵在岸上的跑动速度为5m/s，而在水中的速度为1m/s，工兵为尽快到达S处排雷，他应在何处下水？分析：这是一个简单的应用问题。实际上就是要求我们在线段AB上选择一点P，使得经过点A、P、S时所花的时间最短。因此线段BP的长度或角θ的大小就是与问题有关的变量。于是就有下面的两种方法。方法1：如图，设工兵从P处下水，BP=x（0≤x≤20），则AP=20-x，，经过点A→

5、P→S所需时间为。这样我们就得到目标函数，即化简得∵x∈R，方程有实根，∴又y＞0，∴。而当∴当方法2：建立三角函数模型设∠PSB=θ，(0≤θ≤arctan2),则AP=20-10tanθ.经过点A→P→S所需时间,若将看成经过M(cosθ,sinθ)、N(0,5)两点的直线l的斜率k，则求y的最小值，即求直线l斜率的最大值。由于0≤θ≤arctan2,所以当l：y=kx+5与圆x2+y2=1上对应的一段圆弧相切时，k取最大值k0。由∴。综上所述，要提高学生解题能力，不但要有扎实的数学知识和技能，而且能根据式子的结构特征，巧用数学模型，以便运用数学模型解决数学问题和实际问题。