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《2017-2018学年高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2．2.4 旋转变换[对应学生用书P14] 1．旋转变换将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换．其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书P14]点在旋转变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵；(2)求点
2、A(4,8)在这个旋转变换作用下的象A′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解．[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：，该变换对应的矩阵为：＝.(2)由(1)知，当x＝4，y＝8时，x′＝－6，y′＝－2，所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为A′(－6，－2)．8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC分别在M1＝，M2＝，M3＝对应的变换作用下的图形这里A(0
3、,0)，B(2,0)，C(1,1)．解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)．在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．在M3下，A→A(0,0)，B→B(，)，C→C(0，)．图形分别为2．在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A(－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为＝，8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案故对应的坐标变换公式为.令
4、x＝－1，y＝0得.所以所求的点A′的坐标为.曲线在旋转变换作用下的象[例2] 已知曲线C：x2＋y2＝2，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程．[精解详析] 旋转变换对应的矩阵M＝＝，设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为P′(x，y)．则有＝，故因为点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝2上，所以x＋y＝2，即2＋2＝2，∴x′＋y′＝2.从而曲线C′的方程为x2＋y2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标
5、变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案3．将双曲线C：x2－y2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C′，试求C′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵M＝＝，任意选取双曲线x2－y2＝1上的一点P(x0，y0)，它在变换作用下变为P′(x，y)，则有那么又因为点P在曲线x2－y2＝1上，所以x－y＝1，即有(x＋y)2－(y－x)2＝1，整理可得2xy
6、＝1，所以所求C′的方程为xy＝.4．已知椭圆Γ：＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－2,0)，B(0，－)，C(2,0)，D(0，)(如图所示)．因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为M＝＝.所以＝，＝，8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案＝，＝.故点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A′(0，－2)，B′(，0)，C′(0,2)，D′(－，0)，从而椭圆曲线Γ：＋＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：＋＝1.1．若
7、点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.解：由＝，得∴∴(k∈Z)∴(k∈Z)∴α＝－＋2kπ(k∈Z)．2．设点P的坐标为(1，－2)，T是绕原点逆时针旋转的旋转变换，求旋转变换T对应的矩阵A，并求点P在旋转变换T作用下得到的点P′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵A＝＝设P′(x′，y′)，则＝8苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案∴即P′.3．已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M
8、＝＝.由＝＝，得解得代入xy＝1，得曲线C′的方程为y2－x2＝2.(2)由(1)知曲线C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y＝±x.4．求直线y＝x绕原点逆时针旋转后所得的直线的方程．解：直线y＝x的倾斜角为，绕原点逆
