线性代数笔记解析

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1、线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A)中单位阵I对应代数多项式f(x)中的1，纯量阵kI对应常数k2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p阶子式：设，指以的个元素为主对角线构成的，含个元素的p阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数使向量，那么称b能被向量组A（或记）线性表示；也就是线性方程组Ax=b有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b都能

2、被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价；也就是矩阵方程AX=B和BX-1=A都有解，即行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念（2）当两个同型矩阵A，B的列向量组等价，A与B等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A与B等价，经行/列变换得到B，则A与B的行/列向量组等价1.2线性相关性和秩1.线性相关：对于向量，如果存在不全为零的实数使得，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量，如果当且仅当全为零时，才有，那么这些向量线性无关，

3、也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A对应的矩阵的秩<向量数，则组A线性相关；如果向量组A对应的矩阵的秩=向量数，则组A线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A中线性无关向量的最大个数，记为r，A中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩1.3基、维数和坐标1.基：如果向量空间V中任一向量都可被V中一线性无关向量组A线性表示，称组A为V的一个基基变换：设A,B为V的两组基，记为过渡矩阵，则2.维数：基中的向量数r（也是基的秩）称为向量空间V的维数，称V为r维向量空间3.坐标：如果向量空间V中一向量，且是V的基，则称

4、为b在基A中的坐标证明向量组A是空间V的基，就是要写出V中任一向量在基A中的坐标表达式坐标变换：设A,B为V的两组基，对应坐标为x,y，记为过渡矩阵，则1.4范数、投影和正交性1.向量的范数：，n为向量维数2.广义的向量夹角：；b在a上的投影：3.向量的正交性：两个向量x,y的点积（或）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q为规范正交基，若向量，则坐标或写作5.基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含

5、所有n维实向量的非空集合，记作公理化定义：设是一非空集合，R为实数域；Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素，总有唯一的元素与之对应，称为的和；若对于实数与任一元素，总有唯一的元素与之对应，称为的积；Part2：运算的法则八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0（4）元素的负元素唯一（5）乘法元为1（6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称为实向量空间，中元素称为向量。2.张成的空间：由向量组生成的向量空间记为3.子空间：包含零向量，对加法和数乘封闭的的子集最小的子空间是只含零向量的空间Z，

6、最大的子空间是Rn本身4.等价与向量空间：两个等价向量组张成的空间是同一个空间2.2四个基本子空间1.对于一个m×n，秩为r的初等矩阵A：矩阵的列空间（C）：n列矩阵可视为n个列向量排列在一起，在这n个列向量中，所有线性无关向量（主列向量，基向量）张成的空间，称为列空间，维数是r，在中矩阵的解空间（N）：Ν(A)={x

7、Ax=0,x∈}，基向量是所有特解，维数是n-r，N在中矩阵的行空间（C(AT)）：即矩阵的列空间，基向量是主行向量，维数是r，在中矩阵的左零空间：Ν(AT)={y

8、ATy=0,y∈}，基向量是所有特解，维数是m-r，在中2.子空间维数与线性方程组的关系

9、：解空间维数=自由变量数；行空间维数=列空间维数=主变量数；左零空间维数=约束条件数2.3空间的正交性1.向量与空间正交：向量A与空间α内的所有向量正交，则A与α正交2.子空间正交：空间V有两子空间α和β，若α中的所有向量与β中的所有向量都正交，则α与β正交直线与直线，直线与平面都可以正交，但平面不能与平面正交3.正交补：两个互正交子空间的维数之和等于母空间维数，则它们互为正交补4.基本子空间的正交性：行空间与解空间互为正交补，列空间与左零空间互为正交补第二篇线性方程组第一部分线性方程组Ax=d求解线性方程组的含义：找出A中真正对构建列空