高三文科数学一轮复习之导数

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1、数学讲义之导数及其应用【题型分类】选择题部分：〖例1〗（2011江西）若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)C　【解析】方法一：令f′(x)＝2x－2－＝>0，又∵f(x)的定义域为{x

2、x>0}，∴(x－2)(x＋1)>0(x>0)，解得x>2.故选C.方法二：令f′(x)＝2x－2－>0，由函数的定义域可排除B、D，取x＝1代入验证，可排除A，故选C.〖例2〗（2011江西）曲线y＝ex在点A(0,1)处

3、的切线斜率为(　　)A．1B．2C．eD.A　【解析】y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex

4、x＝0＝e0＝1.故选A.〖例3〗（2011山东）曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)A．－9B．－3C．9D．15C　【解析】因为y′＝3x2，所以k＝y′

5、x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.〖例4〗（2011湖南）曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.B　【解析】对y＝－求导得到y′＝

6、＝，当x＝，得到y′＝＝.〖例5〗（2011浙江）设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)图1－3D　【解析】设F(x)＝f(x)ex，∴F′(x)＝exf′(x)＋exf(x)＝ex(2ax＋b＋ax2＋bx＋c)，又∵x＝－1为f(x)ex的一个极值点，∴F′(－1)＝e2(－a＋c)＝0，即a＝c，∴Δ＝b2－4ac＝b2－4a2，当Δ＝0时，b＝±2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；当Δ>0时，>1，即对

7、称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右边．又f(－1)＝a－b＋c＝2a－b＜0，故D错，选D.简答题部分：〖例6〗（2011浙江）设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．【解答】(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e

8、.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要解得a＝e.〖例7〗（2011北京）已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【解答】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k

9、－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0

10、)为R上的单调函数，求a的取值范围．本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力．【解答】对f(x)求导得f′(x)＝ex.①(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.结合①可知xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝

11、4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0