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《2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.4.2 微积分基本定理（二）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1．4.2 微积分基本定理(二)明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．曲边梯形的面积(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃf(x)dx.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－ʃf(x)dx.2．两函数图象围成图形的面积当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x
2、＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃ[f(x)－g(x)]dx.(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．解 方法一 如图，由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积72017-2018学年人教B版高中数学学案S＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝－0＋
3、(4－)－(1－)＝.方法二 由于点D的横坐标也是2，故S＝(2x－x)dx－(x2－x)dx＝－＝2－(－2)＋(－)＝.方法三 因为′＝，′＝－，故所求的面积为S＝(y－)dy＋(－)dy＝＋＝＋(×8－×16)－(－)＝.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．72017-2018学年人
4、教B版高中数学学案解 由得或，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S＝ʃ(－x＋2)dx－ʃ(x2－4)dx＝(2x－x2)
5、－(x3－4x)
6、＝－(－)＝.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y＝x
7、－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.解 方法一 作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图．解方程组得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)．直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S＝S1＋S2＝ʃdx＋＝x
8、＋x
9、－(x－4)2
10、＝.方法二 把y看成积分变量，则S＝ʃ(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y3)
11、＝.反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上
12、、下限．72017-2018学年人教B版高中数学学案跟踪训练2 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组及得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S＝ʃ[－(－x)]dx＋ʃ[(2－x)－(－x)]dx＝ʃ(＋x)dx＋ʃ(2－x＋x)dx＝(＋x2)
13、＋(2x－x2＋x2)
14、＝＋＋(2x－x2)
15、＝＋6－×9－2＋＝.探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切
16、点A处的切线方程．解 如图，设切点A(x0，y0)，其中x0≠0，由y′＝2x，过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x，72017-2018学年人教B版高中数学学案令y＝0，得x＝，即C(，0)，设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC，∵S曲边△AOB＝S△ABC＝
17、BC
18、·
19、AB
20、＝(x0－)·x＝x.∴S＝x－x＝x＝.∴x0＝1，从而切点为A(1,1)，切线方程为2x－y－1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运
21、用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃ(x－x2)dx＝
