正态总体参数的区间估计

《正态总体参数的区间估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第19讲正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。教学重点：置信区间的确定。教学难点：对置信区间的理解。教学时数：2学时。教学过程：第六章参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1.区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。因此，对于未知参数，除了求出它的点估计外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。设为未知参数的估计量，其误差小于某个正数的概率为，即或这表明，随机区

2、间包含参数真值的概率（可信程度）为，则这个区间就称为置信区间，称为置信水平。定义设总体的分布中含有一个未知参数。若对于给定的概率，存在两个统计量与，使得7则随机区间称为参数的置信水平为的置信区间，称为置信下限，称为置信上限，称为置信水平。注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为），每一组样本值确定一个区间，每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值。按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含真值的约占，不包含真值的约仅占。例如：若，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含真值的约为10个。（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而

3、置信水平表示估计结果的可靠性。对于置信水平为的置信区间，一方面置信水平越大，估计的可靠性越高；另一方面区间的长度越小，估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（变小），所以要找两方面的平衡点。在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的分位点概念。设，若满足条件，则称点为标准正态分布的分位点。例如求。按照分位点定义，我们有，则，即。查表可得.又由图形的对称性知。下面列出了几个常用的值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451

4、.2822.正态总体均值的区间估计设已给定置信水平为，总体，为一个样本，分别是样本均值和样本方差。7（1）已知时，的置信区间我们知道是的无偏估计，且有统计量。由标准正态分布的上分位点的定义，有即这样，我们就得到了的一个置信水平为的置信区间这样的置信区间常写成例1从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.615.014.715.114.914.815.015.115.214.8若滚珠直径服从正态分布，并且已知（mm），求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。解计算样本均值，置信水平=0.95，，查表得（可利用查表）。由此得的置信水平为9

5、5%的置信区间为即注：置信水平为的置信区间并不是唯一的。以例1来说，给定，则又有故7也是的置信水平为95%的置信区间，其区间长度为。而在对称区间上，区间长度为,比非对称区间长度要短，较优。易知，像分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况，当固定时，以对称区间其长度为最短，我们选用对称区间。（2）未知时，的置信区间此时不能使用，因为其中包含了未知参数。考虑到是的无偏估计，将上述区间中的换成。我们已知统计量，可得即于是得到的一个置信水平为的置信区间例2在例1中，若未知，求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。解计算样本均值，样本标准差；置信水平=0.95，，自由度，查

6、表得。由此得的置信水平为95%的置信区间为7即(14.92-0.138，14.92+0.138)=(14.782，15.058)注比较例1和例2中的置信区间，可以发现当未知时，的置信区间区间长度要比已知时的置信区间区间长度大，这表明当未知条件增多时，估计的精确程度变差，这也符合我们的直观感觉。3.正态总体方差的区间估计（1）已知时，的置信区间已知但是分布的概率密度图形不是对称的，对于已给的置信水平，要想找到最短的置信区间是困难的。因此，习惯上仍然取对称的分位点和可得即于是得到方差的一个置信水平为的置信区间例3在例1中，若已知（mm），求滚珠直径方差的置信水平为95%的置

7、信区间。解已知，置信水平=0.95，，自由度，查表得7，。则方差的置信水平为95%的置信区间为即（2）未知时，的置信区间的无偏估计为，且统计量。选取分位点和可得即于是得到方差的一个置信水平为的置信区间由此，我们还可以得到标准差的一个置信水平为的置信区间注在实际问题中，对做估计的时候，一般均是未知的情况。因此，我们重点掌握未知条件下求的置信区间问题。例4在例1中，若未知，求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间。解未知，计算样本方差，置信水平=0.95，，自由度7，查表可得，。则方差的置信水平为95%的置信区间为即(0.0177，0.12