双曲线的标准方程及简单的几何性质

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1、双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程   学习目标   1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。   2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。   3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。   4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。   5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。   重点难点   重点：双曲线的定义及其标准方程；   难点：1、双曲线标准方程

2、的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。   例题分析第一阶梯   [例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。   分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。   解：   由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.30      变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。   解：由条件可知，所

3、求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)   注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。   [例2]   分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。   证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。   [例3]      分析   迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。   解：在△ABC中，

4、BC

5、=10，      故项点A的轨迹是以B、

6、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。   30第二阶梯   [例4]       A、1                     C、2              解：   +

7、PF2

8、2-

9、PF1

10、

11、PF2

12、=16，因为∠F1PF2=90°，所以

13、PF1

14、2+

15、PF2

16、2=

17、F1F2

18、2=(2c)2=20.所以    评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。   [例5]在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程。   思路分析：首先应建立适当的坐

19、标系，由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知

20、

21、PM

22、-

23、PN

24、

25、=2a,

26、MN

27、=c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键。         30   解答：      ∴设

28、PN

29、=3k，

30、PM

31、=4k,则

32、MN

33、=5k,   由3k+4k+5k=48,得k=4.   ∴

34、PN

35、=12,

36、PM

37、=16,

38、MN

39、=20.       由

40、PM

41、-

42、PN

43、=4，得2a=4,a=2,a2=4.   由

44、MN

45、=20,得2c=20,c=10.          [例6] 

46、      思路分析：利用双曲线的定义求解。   解答：      由P是双曲线上一点，得

47、

48、PF1

49、-

50、PF2

51、

52、=16。   ∴

53、PF2

54、=1或

55、PF2

56、=33。   又

57、PF2

58、≥c-a=2，得

59、PF2

60、=33.30第三阶梯   [例7]   交点，则

61、PF1

62、·

63、PF2

64、的值是（）                    思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到

65、PF1

66、和

67、PF2

68、的关系式，再变形得结果。   解答：           两式平方相减，得4

69、PF1

70、·

71、PF

72、2

73、=4(m-s)，故

74、PF1

75、·

76、PF2

77、=m-s。故选A。   [例8]       解：   由题意得F1（-5，0），F2（5，0）。设点P的坐标为(x0,y0)   又PF1⊥PF2，则

78、PF1

79、2+

80、PF2

81、2=

82、F1F2

83、2，30      评注：本题考查双曲线的方程等基础知识。   [例9]已知动圆与定圆C1：(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。   分析：设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2

84、=1.

85、PC1

86、=r+7,

87、PC2

88、=r+1,

89、PC1

90、-

91、PC2

92、=6。   解：    设动圆圆心为P(x,y)，半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.

93、PC1

94、=r+7,

95、PC2

96、=r+1,

97、PC1

98、-

99、PC2

100、=6，则动圆圆心P的轨迹方程为   四、检测题   1、ax2+by2=b(ab<0),则这曲线是（）   A、双曲线焦