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1、个人收集整理勿做商业用途双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程 学习目标 1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程. 2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。 3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法. 4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题. 5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。 重点难点 重点:双曲线的定义及其标准方程； 难点：1、双曲线标准方
2、程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题. 例题分析第一阶梯 ［例1]已知两定点F1（—5，0)、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。 分析:根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程. 解： 由题意可知，所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为，这里2a=6，2c=10。个人收集整理勿做商业用途 变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。 解：由条件可知，所
3、求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5） 注意：在求解轨迹方程的问题时,要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。 ［例2] 分析:分别求出椭圆及双曲线的焦点即可. 证明：易得椭圆的两个焦点为（—4，0)、（4，0），双曲线的两个焦点也为（—4，0）、（4，0）. ［例3] 分析 迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支. 解：在△ABC中，｜BC｜=10， 故项点A的轨迹是以B、C为两焦点,实轴长为6
4、的双曲线的左支. 个人收集整理勿做商业用途第二阶梯 [例4] A、1 C、2 解： +｜PF2｜2-｜PF1｜
5、PF2
6、=16，因为∠F1PF2=90°,所以｜PF1
7、2+
8、PF2｜2=｜F1F2
9、2=(2c）2=20。所以 评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。 ［例5]在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=90°，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程. 思路分析：首先应建立适当的坐标系，由于M、N为焦点，
10、所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知｜｜PM
11、—
12、PN
13、｜=2a，
14、MN
15、=c，所以利用条件确定△MPN的边长是关键。 个人收集整理勿做商业用途 解答： ∴设｜PN｜=3k，｜PM
16、=4k，则｜MN
17、=5k， 由3k+4k+5k=48，得k=4. ∴
18、PN｜=12，｜PM｜=16,｜MN
19、=20. 由
20、PM｜-
21、PN
22、=4,得2a=4，a=2,a2=4. 由
23、MN
24、=20,得2c=20,c=10. [例6］ 思路分析：利用
25、双曲线的定义求解。 解答： 由P是双曲线上一点，得
26、
27、PF1
28、-｜PF2
29、
30、=16。 ∴
31、PF2
32、=1或
33、PF2｜=33。 又｜PF2｜≥c-a=2，得
34、PF2
35、=33.个人收集整理勿做商业用途第三阶梯 [例7] 交点，则
36、PF1
37、·｜PF2
38、的值是() 思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到
39、PF1｜和｜PF2｜的关系式,再变形得结果。 解答: 两式平方相减，得4｜PF1
40、·｜PF2
41、=4（m—s），故｜PF
42、1
43、·
44、PF2｜=m-s。故选A。 ［例8］ 解： 由题意得F1（-5,0）,F2（5，0）.设点P的坐标为(x0，y0） 又PF1⊥PF2，则｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2
45、2,个人收集整理勿做商业用途 评注：本题考查双曲线的方程等基础知识。 ［例9］已知动圆与定圆C1：(x+5)2+y2=49，C2：（x—5)2+y2=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。 分析：设动圆圆心为P（x,y),半径为r，则题意可得C1（—5，0），r1=7.C2（5,0)，r2=1.｜PC1
46、=r+7,｜P
47、C2｜=r+1,｜PC1｜—
48、PC2
49、=6. 解： 设动圆圆心为P（x，y），半径为r，则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5，0),r2=1.
50、PC1
51、=r+7,
52、PC2｜=r+1，
53、PC1｜-｜PC
