钱伯初量子力学考试题

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1、量子力学考试题(共五题,每题20分)1、扼要说明:(a)束缚定态的主要性质。(b)单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符(厄米算符),不对易,令=i(-),试证明:(a)的本征值是实数。(b)对于的任何本征态,的平均值为0。(c)在任何态中+≥3、自旋/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为=+ν(,ν>0,»ν)(a)求能级的精确值。(b)视ν项为微扰,用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱(0

2、作用微弱,可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种:(),(),(),试分别就以下两种情况,求体系的可能(独立)状态数目。(i)无自旋全同粒子。(ii)自旋/2的全同粒子(例如电子)。量子力学考试评分标准1、(a),(b)各10分(a)能量有确定值。力学量(不显含t)的可能测值及概率不随时间改变。(b)(nlmms)(n’l’m’ms’)选择定则:=,=0,,=0根据:电矩m矩阵元-en’l’m’ms’,nlmms02、(a)6分(b)7分(c)7分(a)是厄米算符,所以其本征值必为实数。(b)=,===i-=i{-G}=0(c)(+i)(-i)=2+2-(+i

3、)(-i)=︱(-i)︱2≥0<2+2->≥0,即+≥3、(a),(b)各10分(a)=+ν=[]+ν[]=[]=E,=[],令E=,则[][]=0,︱︱=--=0=,E1=-,E2=当»ν,=(1+)1/2(1+)=+E1-[+],E2=[+](b)=+ν=0+’,0=,’=ν0本征值为,取E1(0)=-,E2(0)=相当本征函数(Sz表象)为1(0)=[],2(0)=[]则’之矩阵元(Sz表象)为=0,=0,==E1=E1(0)++=-+0-=--E2=E2(0)++=+4、E1=,====-i-i=-i==-=0+四项各5分5、(i),(ii)各10分(

4、i)s=0,为玻色子,体系波函数应交换对称。有:,,,accabccb共6种。(ii)s=,单粒子态共6种:,,,,,。任取两个,可构成体系(交换)反对称态,如=-体系态共有种或:,,三种轨道态任取两个,可构成一种轨道对称态+及一种反对称态-,前者应与自旋单态x00相乘,而构成体系反对称态,共3种。后者应与自旋三重态x11,x10,x1-1相乘而构成体系反对称态,共33=9种。但轨道对称态还有型,共3种型,各与自旋单态配合,共3种体系态,故体系态共3+3+9=15种。

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