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1、量子力学解答(钱伯初<量子力学>)Chap1绪论1-13(a)求室温(T~300K)下中子的德布罗意波长.(b)如上述中子在地面附近下落1m,求波长变化的比率.hhhh解:(a)λ====p2mE33mkTk2mkT2中子的平均平动动能为3E=kTk2所以hhλ==33mkT2mkT2代入数值得−34h.663×10−10λ===.145×10m=0.145nm3mkT−27−233×.167×10×.138×10×300hhΔpΔλΔp(b)Δλ=Δ=−,即=−2ppλp答网2ppΔp由机械能守恒:+mgh=E,得+mgΔh=0,于是2mm−27ΔλΔpmgΔhmgΔhm
2、gΔh,167×10×8.9×(−)1−6=−=====−1.32×102−23λp(2p2/m)2Ek3kT3×.138×10×3001-14质量为m的粒子受弹性力F=−kx(k>0)作用而作一维简谐振动,按照经典力学可以求出其运动规律为kx(t)=Asin(ωt+α),ω=m12A为振幅.谐振子的能量为E=kA.以上请读者自行验证.试再利用玻尔-索末菲量子化条2件或对应原理证明能量及振幅的量子化结果:2nhE=nhω,A=,n=,1,02,...nnmω证明:由玻尔-索末菲量子化条件∫pdq=nh,注意到p=mv=mx&,q=x=Asin(ωt+α),有:dxTT222
3、2122∫∫pdq=mx&dx=∫mx&dt=m∫00x&dt=m∫Aωcos(ωt+α)dt=mTAω=nhdt21T21上式利用了∫cos(ωt+α)dt=,注意Tω=2πT022nh12122得A=A=,能量E=kA=mωA=nhω//nnnnmω22vvkr1−15质量m的粒子在大小一定的向心力F=−(k>0)作用下作圆周运动.先用经典力r学证明轨道半径r,角速度ω,总能量E有如下关系:22k33krω=,E=kr=2m22mω再利用量子化条件或对应原理证明能级的量子化公式:2223hkn1/3E=(),n=,2,13...n2mvvkr)证明:注意到F=−=−kr
4、,径向牛顿力学方程为r22kk=ma=mrω,即rω=nm00v选取r=0为势能零点,势能为E=−rkˆ⋅rd=−kdr=krp∫∫rr12213总能量为:E=mrω+kr=kr+kr=kr2222对力心的角动量守恒,L=mrω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件∫pdq=nh,得23∫∫pdq=Ldθ=L∫dθ=mrω2π=mkr2π=nh22nh1/3解得:r=r=()nmk2222233nh3/13nhk1/3于是,E=kr=k()=(),n=,2,13...//nn22mk2mChap2波函数和薛定谔方程vv*2-1设ψ(r,t)和ψ(r,t)是两个真实的运动态波函数,
5、满足薛定谔方程.证明ψψdτ12∫全12之值与时间无关.证明:由Schrodinger方程：2∂ψ1h2ih=(−∇+V)ψ（1）1∂t2m2∂ψ2h2ih=(−∇+V)ψ（2）2∂t2m*2∗∂ψ1h2*取复共轭（1）：−ih=(−∇+V)ψ（3）1∂t2m*ψ×)2(−ψ×(1)得1222∂*h*22*h**ih(ψψ)=−(ψ∇ψ−ψ∇ψ)=−∇⋅(ψ∇ψ−ψ∇ψ)1212211221∂t2m2m对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：∂h2h2v*****ih(ψψ)dτ=−∇⋅(ψ∇ψ−ψ∇ψ)dτ=−(ψ∇ψ−ψ∇ψ)⋅dS∫全12∫全1221∫∫S1221∂
6、t2m2m3/2S→∞时，态函数有限要求ψ~1/r,面积分为零。即∂*ψψdτ=0//∫全12∂t2-2证明从单粒子薛定谔方程解出的速度场是无旋的，即▽×υ=0，其中υ=j/ρ,ρ为概率密度，j为概率流密度。证明:ρ(r,t)=ψ(*r,t)ψ(r,t)ihj=−[ψ(*r,t)∇ψ(r,t)−ψ(r,t)∇ψ(*r,t)2m粒子的速度分布υjih∇ψ(r,t)∇ψ(*r,t)ihihψυ==−[−]=−[∇lnψ−∇lnψ*]=−∇(ln)ρ2mψ(r,t)ψ(*r,t)2m2mψ*其旋度为ihψ∇×υ=−∇×∇(ln)=0//2mψ*2-3粒子在一维势场V(x)中运动，
7、V(x)无奇点，设ψn,ψm为束缚态波函数，En≠En.+∞证明ψn与ψm正交，即证明ψψdx=0∫nm−∞证明:由定态Schrodinger方程：22hd(−+V)ψ=Eψ（1）2nnn2mdx22hd(−+V)ψ=Eψ（2）2mmm2mdxψ×)2(−ψ×(1)得nm22hhd(E−E)ψψ=−(ψψ′′−ψψ′′)=−(ψψ′−ψψ′)mnnmnmmnnmmn2m2mdx对全空间积分，注意束缚态函数在无穷远必须趋于0，得22+∞h+∞dh+∞(Em−En)∫−∞ψnψmdx=−∫−∞(ψnψm′−ψmψn′)
