概率论与数理统计-兰州大学201303考试

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1、概率论与数理统计第3次导学资料----问题答疑材料第一章随机事件及其概率内容提要1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为e.（3）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常用A、B、C等大写字母表

2、示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A发生必导致B发生”，记为或；且.（2）和事件（并）：“事件A与B至少有一个发生”，记为.（3）积事件（交）：“事件A与B同时发生”，记为或.（4）差事件、对立事件(余事件)：“事件A发生而B不发生”，记为A－B称为A与B的差事件；称为的对立事件；易知：.（5）互不相容性：；互为对立事件且.（6）事件的运算法则：1)交换律：，；2)结合律：，；3)分配律：，；4)对偶(DeMorgan)律：，，

3、可推广.3、频率与概率（1）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（2）统计概率：当时，频率.当很大时，称为事件的统计概率.（3）古典概率：若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件发生的概率为：.（4）几何概率：若试验基本事件数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件发生的概率为：.（5）概率的公理化定义：设()为可测空间，在

4、事件域上定义一个实值函数，满足：1)非负性：，对任意；2)规范性：；3)可列可加性：若有一列，使得，则称为域上的概率测度，简称“概率”．4、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A)，且P(B－A)＝P(B)－P(A).（4）互补性：P()＝1－P(A)，且P(A)1.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意n个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有.5、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是中的两个事件，即，则

5、称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．（2）乘法公式：设，则称为事件A、B的概率乘法公式.6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有，称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有，称为贝叶斯公式或逆概率公式.7、事件的独立性（1）两事件的独立：设为一概率空间，事件，且，若，则称事件A与B相互独立；等价于：.（2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称n个事件相互独立．8、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结

6、果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥事件如果两个事件与必有一个事件发生，且至多

7、有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥ABABAB两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1，表示样本空间中两事

8、件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了