物理竞赛专题五：极限法

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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。赛题精讲例1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大

2、动能为。解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①图5—1由机械能守恒有②联立①②式解得例2：如图5—2所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点图5—2的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与角有关，求时间t对于角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则所以①由

3、图可知，在△OPC中有15所以②将②式代入①式得显然，当时，上式有最小值.所以当时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。此题也可以用作图法求解。例3：从底角为的斜面顶端，以初速度水平抛出一小球，不计图5—3空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则由：，解得运动时间为该点的坐标为由几何关系得：解得小球离开斜面的最大距离为。这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。

4、例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取图5—4，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。15根据平抛运动的规律，水流的运动方程为把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：令上式可变为且最小初速=例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为，

5、人和铁板间摩擦因数为图5—5，且>>。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度。由于铁板移动的距离越大，L越大。是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦，根据系统的牛顿第二定律得：所以①哈设、分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度15因为②且并将、代入②式解得铁板

6、移动的最大距离例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为，卫星发射时具有的机械能为①进入轨道后卫星的机械能为②由E1=E2，并代入解得发射速度为③又因为在地面上万有引力等于重力，即：④把④式代入③式即得：（1

7、）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为.（2）如果，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为例7：如图5—6所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心O点正下方C点处，OC=3R/8，半球重为G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半15球平在间的动摩擦因数，求无滑动时物体离球心图5—6O点最大距离是多少？解析：物体离O点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，有限度。设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接

8、触点为轴，根据平衡条件有：得可见，x随增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：.例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳图5—7与杆的夹角，如图5—7所示。（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离为杆长），要