三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用

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1、三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用1.三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题

2、得证．③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．P1P3OP2.三角形的“四心”定理的平面向量表达式及其证明①是的重心(其中是三边)证明：充分性是的重心若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。必要性：是的重心如图，延长交于，则为的中点，

3、由重心的性质得.∵∴P1P3OP②点是的垂心证明：是的垂心,同理故当且仅当.ABCDO③点是的外心．证明：O是△ABC的外心

4、

5、=

6、

7、=

8、

9、(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)④是的内心。(其中是三边)证明：充分性：是的内心=所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的内心。必要性：是的内心若点O为的内心，延长交于，由三角形内角平分线的性质定理，有，于是再由，有（定比分点）代入前式中便得.必要性证法二：设O是内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线

10、为x轴，建立直角坐标系。并设　　　　　　　　　　显然不共线，由平面向量基本定理，可设则　　　（ⅰ）若O是的内心，则　故　　必要性得证．同时还可得到以下结论（ⅱ）若O是的重心，则故（ⅲ）若O是的外心则OFEDCBA故（ⅳ）若O是(非直角三角形)的垂心，则故证明：（A、E、O、F四点共圆）同理因此只需证先证第一个等式（E、C、D、O四点共圆,为的补角；E、O、F、A四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。3.与三

11、角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤为△ABC的重心(P是平面上任意点).证明∵G是△ABC的重心∴==，即由此可得.(反之亦然(证略))①△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥证明：（详细证明见欧拉线的证明）按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理，由此可得.②设为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，*内心I（，）证明：由是的内心。(其

12、中是三边)（见内心的充要条件的证明）,∴I（，）.4.欧拉线的4种证法三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。在△ABC中，已知O、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：O、G、H三点共线，且OG:GH=1:2。（证九点园园心在欧拉线上略，可查有关资料）　　欧拉线的证法1：（平面几何法）　关于欧拉线的介绍详见：欧拉线，下面是欧拉线的证明如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DC、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…②∵H为△ABC垂心∴

13、AH⊥BC…③，CH⊥AB…④由①、③可知DC∥AH，由②、④可知DA∥CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点∴DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM，连OM、OH；设OH交AM与点G'∵OM⊥BC，△AHG'∽△MOG'，AH=DC=2OM，∴AG'=2G'M，因此G'即△ABC重心G。故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。评注：利用垂心H、外心O作为已知，证中线AM与OH的交点G'为重心。　欧拉线的证法2：（平面几何法）　设H,G,O,分别为△ABC的垂

14、心、重心、外心连接AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。连接OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠