三角形“四心”向量形式的充要条件应用

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1、三角形“五心”向量形式的充要条件应用ABCDG1．重心(中线交点)①G是△ABC的重心证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=，得=，故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))②为△ABC的重心(P是平面上的点).证明∵G是△ABC的重心∴==，即由此可得.(反之亦然(证略))【例1】已知向量，，满足条件++=，

2、

3、=

4、

5、=

6、

7、=1，求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B组第6题)证明由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，∴

8、

9、=

10、

11、=

12、

13、=，

14、从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=且

15、

16、=

17、

18、=

19、

20、.即O是△ABC所在平面内一点，++=且

21、

22、=

23、

24、=

25、

26、点O是正△P1P2P3的中心.、向量AP=λ/sinB*向量AB/

27、向量AB

28、+λ/sinC*向量AC/

29、向量AC

30、，向量AP=λ/sinB*向量c0+λ/sinC*向量b0，向量c0=向量AB/

31、向量AB

32、表示AB方向上的单位向量，向量b0=向量AC/

33、向量AC

34、表示AC方向上的单位向量，做BC边上的高AD，中线AE，延长AE至F使得AE=EF，则ABFC为平行四边形。设AD=h，当λ=AD=h时，

35、λ/sinB=AB，λ/sinC=AC，于是向量AP=AB*向量c0+AC*向量b0，向量AP=向量AB+向量AC=向量AF，当λ≠AD时，设λ=k*h（k为实数），很容易得到向量AP=k*向量AF。故P点总是在直线AF上，即在中线AE所在直线上，中线过重心，ABCDH2．垂心(高线交点)、H是△ABC的垂心由,同理，.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))、若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，则ABCDOS△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC故tanA·+tanB·+tanC·=O是△ABC所在平面内一点则O是△ABC的垂心、在

36、△ABC的边BC的高AD上.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)、O是△ABC的外心

37、

38、=

39、

40、=

41、

42、(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线)、若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·+sin∠2B·+sin∠2C·=、ABCDO4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)、O是△ABC的内心充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记，，的单位向量为，则O是△ABC内心的充要条件可以写成·

43、(+)=·(+)=(+)=O是△ABC内心的充要条件也可以是a·+b·+c·=若O是△ABC的内心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=;为△ABC的内心;、向量所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)；设P是△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC内心的充要条件是ACBP【例1】O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞)则P点的轨迹一定通过△ABC的(B)(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位

44、向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.若P是△ABC的内心a+b+c=(abc是三边）5、旁心：若o为三角形的旁心，则a=b+c(abc是三边)6．外心与重心：O是△ABC的外心，G是重心，则7．外心与垂心：O是△ABC的外心，H是垂心，则证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴AD⊥AB，CD⊥BC.又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.8．重心与垂心：G是△ABC的重心，H是垂心，则9．外心、重心、垂

45、心：O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心，则证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理，由此可得.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。【例1】在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(

46、x2,y2)，D、E、F