分形理论与波动理论研究

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1、分形理论与波动理论研究前言（略）一、分形理论与自然界的随机系统大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观，人们很难用一般的物质运动规律来解释它们，象变换多姿的空中行云，坎坷的山岳地貌，纵横交错的江河流域，蜿蜒曲折的海岸线，夜空中繁星的分布，各种矿藏的分布，生物体的发育生长及外形，分子和原子的无规运动轨迹，以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的外形及运动规律，这些客观现象的基本特征是在众多复杂因素影响下的大系统的无规运动。通俗一点讲，这是一个复杂的统计理论问题，用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。70年代曼

2、德尔布罗特通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究，提出了让学术界为之震动的“分形理论”，以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大爱好。所谓分形，简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。所谓自相似性即是指物体的形似，不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的外形不变。如树木不管大小外形长得都差不多，即使有些树木从来也没见过，也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其外形都具有一定的相似性。所谓分形的分数维，是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的，它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“

3、空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的外形与这个分数维有内在关系。一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证实，合理的逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初，爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述，从而产生了一场科学与熟悉上的革命，爱

4、因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子的熟悉层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。下面结合三分法科赫曲线来进一步说明自相似性的意义。如果将一条1个单位长度的线段，分三等份，去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之，随后用同样的方法不断循环地操作五次，即得这些图形。由科赫曲线明显可以看出，不管尺寸如何变化，n=1时的基本三分图保持形不变！这就是自相似性，价格曲线的波动明显包括这种循环叠加、“自我生成”的演变规律。科赫曲线是描述海岸线很好的近似，同样由科赫曲线人们会想

5、起价格波动曲线。科赫曲线的分形维1.2628。维度是1·2628的“空间”，简单从距离意义上讲，在其空间中取任意点，与这个固定点有相同“距离”的空间点数比一维空间多而比二维空间少，甚至最短距离也可能不是“直线”；从“密度”的意义上来讲，1.2628维度空间内的“密度量”正比于该空间中空间尺度单位的1.2628幂次方。科赫曲线虽说是个简化的数学模型，但其形象地显示不管从什么样大小的尺度来考虑，科特曲线总是包含n=1时的特征，曲线的任何一个部分都是整体外形的“缩影”8，这是分形的自相似性。科赫曲线直观地反映了分形的演变内涵，它揭示了客观事物自然演变的一种普遍法则。象人类自身的细胞生长，细菌的繁

6、殖，植物的生长，地貌的变化，海岸线的变迁，天气的变化等等，无不带有这种以某些特征为传递信息的无穷尽的衍变过程，通过仔细深入研究人们有可能发现这些复杂自然现象的分形特征，分形是普遍存在的。分形理论表明，大自然中客观存在的分形现象的分形维大多在1.6—1.7四周，少数在0.6—0.7或2.6四周，这让人想起黄金分割率0.618或1.618。理论上讲逻辑“空间”的分数维度可以有无穷多个取值，但有意义的肯定是那些非凡数字；因此有理由认为客观事物的分形维基本上应具1.618或0.618或2.618的特征！也就是说自然界众多庞杂的无规现象具有一定的共同逻辑特征。通过简单的数学运算可以证实：任意一个由前

7、两项的和生成随后一项的无穷级数S=的相临两项之比a/a趋向于1.618的极限；任意一个由前两项的积生成随后一项的无穷级数Q=的相临两项之关系趋向于a=a^1.618或a=a^0.618的极限。这种关系的意义我将在有关黄金分割率的一节中具体论述，可以说这种关系一定意义上揭示了自然界随机系统分形特性的逻辑基础。自然界中“无规”变化的事物的主要特征是时间上的不可逆性，这也是自相似性的“基本传递信息”，数学中表现为“时间反演不对