高二数学双曲线复习

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1、高二数学双曲线【本讲教育信息】一.教学内容:双曲线二.重点、难点:重点:双曲线的定义、方程、几何性质.掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程.难点:理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程.三.主要知识点1、双曲线的定义:平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做焦距.说明:双曲线的定义用代数式表示为

4、

5、MF1

6、-

7、MF2

8、

9、=2a,其中2a<

10、F1F2

11、,这里要注意两点:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<

12、F1F2

13、,这两点与椭圆的定义有本质的不同.当

14、MF1

15、-

16、MF2

17、=2

18、a时,双曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当

19、MF1

20、-

21、MF2

22、=-2a时,双曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=

23、F1F2

24、时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a>

25、F1F2

26、时,动点轨迹不存在.2、标准方程的推导(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图).设

27、F1F2

28、=2c(c>0),M(x,y)为双曲线上任意一点,则有F1(-c

29、,0),F2(c,0).(2)点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为:P={M

30、

31、MF1-MF2

32、=2a}.(3)代数方程(4)化简方程(其中c2=a2+b2)3、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数(小于这两个定点之间的距离)标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形范围

33、x

34、≥a

35、y

36、≥a对称性x轴,y轴,原点顶点坐标(±a,0)(0,±a)实轴虚轴x轴,实轴长2ay轴,虚轴长2by轴,实轴长2ax轴,虚轴长2b焦点坐标(±c,0)c=(0,±c)c=离心率e=,e>1渐近线y=±xy=±

37、x4、方法小结 (1)由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式(含有参数),再由题设条件确定参数值,应特别注意:①当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏;②已知渐近线的方程bx±ay=0,求双曲线方程,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=λ(λ≠0),根据其他条件确定λ的值.若求得λ>0,则焦点在x轴上,若求得λ<0,则焦点在y轴上.(2)由已知双曲线的方程求基本量,注意首先应将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦点位置,防止将焦点坐标和准线方程写错.(3)双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如下图),它的三边长分别是a、b

38、、c.易见c2=a2+b2,若记∠AOB=θ,则e==.(4)参数a、b是双曲线的定形条件,两种标准方程中,总有a>0,b>0;双曲线焦点位置决定标准方程的类型;a、b、c的关系是c2=a2+b2;在方程Ax2+By2=C中,只要AB<0且C≠0,就是双曲线的方程.(5)给定了双曲线方程,就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程,只是限制了双曲线张口的大小,不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±=0,则可把双曲线方程表示为-=λ(λ≠0),再根据已知条件确定λ的值,求出双曲线的方程.【典型例题】例1.根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线-=1有共同的渐近线

39、,且过点(-3,2);(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).(3)求中心在原点,两对称轴为坐标轴,并且经过P(3,)Q(,5).剖析:设双曲线方程为-=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.解法一:(1)设双曲线的方程为-=1,由题意得解得a2=,b2=4.所以双曲线的方程为-=1.(2)设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),∴-=1.又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.解法二:(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入

40、得λ=,所以双曲线方程为-=.(2)设双曲线方程为-=1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.评述:求双曲线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0,可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).与-=1同焦点的可设为-=1(3)设双曲线方程为(mn>0)将PQ两点坐标代入求得m=-16,n=-9.故所求方程为说明:若设-=1或-=1两种情况求解,比较繁琐.例2.△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,

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