高二数学双曲线复习专题及考试题型

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1、双曲线---专项复习【1、基本知识点】双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。（2）定义中的小于这一限制条件标准方程：【2、几何性质】【3、弦长公式】1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则＝。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解【4、常见双曲线题型】题型一　双曲线定义的应用1、如图所示，在△A

2、BC中，已知

3、AB

4、=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解　：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2,0)．由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=.∵2sinA+sinC=2sinB，∴2a+c=2b，即ba=.从而有

5、CA

6、

7、CB

8、=

9、AB

10、=2<

11、AB

12、.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a=，c=2，∴b2=c2a2=6.所以顶点C的轨迹方程为(x>)．【反思感悟】　使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即

13、

14、PF1

15、

16、P

17、F2

18、

19、=2a，而

20、PF1

21、-

22、PF2

23、=2a表示一支．2、P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且

24、PF1

25、＝9，求

26、PF2

27、的值．解　在双曲线－＝1中，a＝4，b＝2.故c＝6.由P是双曲线上一点，得

28、

29、PF1

30、－

31、PF2

32、

33、＝8.∴

34、PF2

35、＝1或

36、PF2

37、＝17.又

38、PF2

39、≥c－a＝2，得

40、PF2

41、＝17.3、已知双曲线的左右焦点分别是、，若双曲线上一点P使得,求的面积。题型二　由方程研究几何性质4、求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，

42、实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.【反思感悟】　求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式－＝1(或－＝1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.5．若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)A．k<－2，或25D．－25解析　由题意知：(

43、k

44、－2)(5－k)<0，即或解得：k>5，或－2

45、求此双曲线的标准方程．解　方法一　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有解得所以双曲线的标准方程为－＝1.方法二　将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝

46、－

47、＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为－＝1.方法三　若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为＋＝1(27<λ<36)，再将点A(±，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．7、求实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲

48、线的标准方程解析　由题意知2a＝4，a2＝20，若双曲线焦点在x轴上，则可设方程为－＝1，代入点A(2，－5)，得：－＝1，即＝，矛盾．因此设双曲线的方程为－＋＝1.代入A(2，－5)，得：＝－1＋＝，∴b2＝16.8．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，则双曲线方程为(　　)A．x2－y2＝96B．y2－x2＝160C．x2－y2＝80D．y2－x2＝24答案　D解析　由题意知双曲线的焦点为(0，±4)，即c2＝48，又因一条渐近线方程为y＝x.所以＝1.即a＝b，∴48＝2a2，a2＝b2＝24.故选D.9、(重庆高考)已知双曲线－＝1(a>0，b

49、>0)的一条渐近线为y＝kx(k>0)，离心率e＝k，则双曲线方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析　双曲线的渐近线方程可表示为y＝±x，由已知可得k＝.又离心率e＝＝k，所以k＝.即＝，故a＝2b.答案　C10、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．解析　双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x＋y＝0，∴1＝＝，∴a＝2.又＝，∴b＝，∴双曲线方程为－y2＝1.题型四　求双曲线的离心率11、已知双曲线的渐近线方程为y＝±